Trudne równanie wykładnicze

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Kamil_Lisiecki_UK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lis 2020, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Trudne równanie wykładnicze

Post autor: Kamil_Lisiecki_UK »

Witajcie

Mam problem, wstyd mi się przyznać, ale nie potrafię rozwiązać zadania, które podesłała mi 5 lat młodsza koleżanka przygotowująca się do ACT, lubię w wolnym czasie rozwiązywać, aby zobaczyć czy jeszcze potrafię, ale tego zadania mimo Googlowania godzinami frazy "równanie wykładnicze" nie jestem w stanie ugryźć. Jest inne niż te przedstawione w internecie, gdzie można wszystko wyciągnąć przed nawias lub sprytnie skrócić.

Bardzo proszę o wskazówkę lub o informację, na której podstawie będę mógł dojść do rozwiązania. W żadnym razie proszę nie podsyłać gotowego rozwiązania, lecz samą "wędkę" :) Bardzo dziękuję za pomoc

\(\displaystyle{ 4 ^{4x-7} = 3 ^{9x-6} }\)
Ostatnio zmieniony 14 lis 2020, o 20:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie kombinuj z wielkością czcionki.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Trudne równanie wykładnicze

Post autor: Premislav »

Zazwyczaj wita gospodarz w progach domostwa, ale to detal. Zlogarytmujmy to stronami przy podstawie \(\displaystyle{ 3}\) (mnie się narzuca oczywiście inna podstawa, ale bez przesady z tymi przyzwyczajeniami). Otrzymujemy równoważne równanie
\(\displaystyle{ (4x-7)\log_{3}4=9x-6}\)
Jest to równanie pierwszego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ x}\), więc bez problemu je rozwiążesz.
Ostatnio zmieniony 14 lis 2020, o 20:49 przez Premislav, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Trudne równanie wykładnicze

Post autor: a4karo »

Wszystko co ma niewiadomą na jedną stronę. Doprowadź do postaci `A^x=B`. Potem logarytm.
Kamil_Lisiecki_UK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lis 2020, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Re: Trudne równanie wykładnicze

Post autor: Kamil_Lisiecki_UK »

Premislav pisze: 14 lis 2020, o 20:49 Zazwyczaj wita gospodarz w progach domostwa, ale to detal. Zlogarytmujmy to stronami przy podstawie \(\displaystyle{ 3}\) (mnie się narzuca oczywiście inna podstawa, ale bez przesady z tymi przyzwyczajeniami). Otrzymujemy równoważne równanie
\(\displaystyle{ (4x-7)\log_{3}4=9x-6}\)
Jest to równanie pierwszego stopnia zmiennej \(\displaystyle{ x}\), więc bez problemu je rozwiążesz.
Doprowadziło mnie to do przedstawienia równania w postaci:

\(\displaystyle{ x=\frac{7\log_{3}4-6}{4\log_{3}4-9} }\)

Oczywiście zakładając, że po drodze nie popełniłem gafy. Smuci mnie ten wynik, ponieważ jeśli dobrze rozumiem, w ładniejszej formie się tego już nie zapisze, można jedynie wrzucić całe wyrażenie w kalkulator naukowy i otrzymać wynik:

\(\displaystyle{ x \approx -0.7167545}\)

Bardzo proszę o potwierdzenie lub niezgodzenie się z powyższym, w przeciwnym razie przez długi czas jeszcze żył będę w niepewności.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: Trudne równanie wykładnicze

Post autor: Premislav »

Jest OK. Zupełnie nie rozumiem, czemu uważasz ten wynik za brzydszy niż np. \(\displaystyle{ 5}\) albo \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) – masz całkiem konkretną liczbę, złożenie kilku funkcji elementarnych dla bardzo prostych, bo całkowitych argumentów, jak to za mało mówi, to właśnie (jak zresztą uczyniłeś) można znaleźć wynik przybliżony za pomocą programu lub kalkulatora naukowego.
Kamil_Lisiecki_UK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 14 lis 2020, o 20:36
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 1 raz

Re: Trudne równanie wykładnicze

Post autor: Kamil_Lisiecki_UK »

Dziękuję bardzo za pomoc, wiem, że farsą jest oceniać wynik w taki sposób, aczkolwiek jak wspomniałem, szukałem wskazówek na różnych stronach poświęconych logarytmom i równaniom wykładniczym i wszystkie przykłady tam przedstawione, które analizowałem dawały się w sprytny sposób skrócić do postaci, którą przedstawić można było przystępny sposób i doprowadziłem się do stanu frustracji przyjmując taki sposób myślenia w moim zadaniu.

Raz jeszcze dziękuję za pomoc i poświęcony mi czas i pozdrawiam; życzę wszystkiego dobrego.
ODPOWIEDZ