Dziedzina równania logarytmicznego z sinusem

[qwerty355]

Mam problem z wyznaczeniem dziedziny w następującym równaniu: \(\displaystyle{ \log_{\sin x} \frac{1}{2} = 2 }\). Moje rozwiązanie wygląda następująco: Zgodnie z definicją, podstawa logarytmu powinna być większa od \(\displaystyle{ 0}\) i różna od \(\displaystyle{ 1}\).
\(\displaystyle{ \sin x > 0 \wedge \sin x \neq 1 }\)
\(\displaystyle{ x \in (0 + 2k\pi ; \pi + 2k\pi) \wedge x \neq \frac{\pi}{2} + 2k\pi }\)
\(\displaystyle{ x \in (0 + 2k\pi ; \frac{\pi}{2} + 2k\pi) \cup ( \frac{\pi}{2} + 2k\pi ; \pi + 2k\pi) }\) i \(\displaystyle{ k }\) jest liczbą całkowitą.
W odpowiedziach natomiast dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ x \in (k\pi ; \pi + 2k\pi) }\). Czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć, gdzie robię błąd?

[Jan Kraszewski]

Nigdzie, odpowiedzi są złe.

JK

[qwerty355]

Dziękuję za odpowiedź. Natknąłem się jednak na jeszcze jeden problem z dziedziną - tym razem w przypadku, gdy w równaniu występuje \(\displaystyle{ \tg x}\) oraz \(\displaystyle{ \ctg x}\). Zatem \(\displaystyle{ x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \wedge x \neq k\pi}\). W jaki sposób wyznaczyć wspólną dziedzinę dla tych dwóch funkcji, uwzględniając te dwa założenia? Analizując wykresy, określiłem, że dziedziną będzie zbiór \(\displaystyle{ x \in (k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi)}\), z kolei odpowiedzi sugerują dziedzinę \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \right\}}\). Czy w tym przypadku obie odpowiedzi byłyby poprawne? Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{k\pi}{2}}\) to część wspólna z tych dwóch założeń, jednak nie wiem, w jaki sposób się ją wyznacza, a w odpowiedziach do zadań często spotykam się z takimi "krótszymi" zapisami.

[Jan Kraszewski]

Analizując wykresy, określiłem, że dziedziną będzie zbiór \(\displaystyle{ x \in (k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi)}\), z kolei odpowiedzi sugerują dziedzinę \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \right\}}\). Czy w tym przypadku obie odpowiedzi byłyby poprawne?

Nie, Twoja odpowiedź jest niepoprawna. Zauważ, że Twoja odpowiedź \(\displaystyle{ x \in \left( k\pi ; \frac{\pi}{2} + k\pi\right)}\) opisuje zbiory \(\displaystyle{ \left(0 ; \frac{\pi}{2}\right), \left(\pi ; \frac{3\pi}{2}\right), \left(2\pi ; \frac{5\pi}{2}\right)}\) itd., ale "gubi" zbiory \(\displaystyle{ \left(\frac{\pi}{2};\pi\right), \left(\frac{3\pi}{2};2\pi\right), \left(\frac{5\pi}{2};3\pi\right)}\) itd. Dlatego poprawna odpowiedź to \(\displaystyle{ x \in \left( \frac{k\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}\right)}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in\ZZ}\) (czyli w wersji akademickiej \(\displaystyle{ \bigcup_{k\in\ZZ}\left( \frac{k\pi}{2} ; \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}\right) }\)). Poprawna jest zatem wersja z odpowiedzi, choć jak widzę \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} \right\}}\) to mi zęby zgrzytają... (poprawnie jest \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{k\pi}{2} :k\in\ZZ\right\}}\)).

Rozumiem, że \(\displaystyle{ \frac{k\pi}{2}}\) to część wspólna z tych dwóch założeń,

Prawdziwość tego zdania jest mocno wątpliwa, co wynika z niestaranności jego sformułowania. Ale zapewne miałeś dobre intencje.

jednak nie wiem, w jaki sposób się ją wyznacza, a w odpowiedziach do zadań często spotykam się z takimi "krótszymi" zapisami.

Forma zapisu nie ma znaczenia, dopóki są to opisy tego samego zbioru. Zbiory można opisywać na różne sposoby, czego z czasem pewnie się nauczysz.

JK

[qwerty355]

Rozumiem, dziękuję za wyjaśnienie.