Dziedzina funkcji z logarytmem naturalnym pod pierwiastkiem.

[olala_uni]

Wyznacz dziedzinę funkcji. Proszę o pomoc
\(\displaystyle{ f(x)= \sqrt{x + x\ln(2x-8)}}\)

[Jan Kraszewski]

Jakie założenie musi spełniać wyrażenie pod pierwiastkiem?

Jakie założenie musi spełniać argument logarytmu?

JK

[olala_uni]

Wydaje mi się, że następujące:
\(\displaystyle{ 2x-8>0 \wedge x \ge 0 \wedge x+ x\ln(2x-8) \ge 0}\).
Natomiast problem mam tylko z ostatnim.

[Jan Kraszewski]

Wydaje mi się, że następujące:
\(\displaystyle{ 2x-8>0 \wedge x \ge 0 \wedge x+ x\ln(2x-8) \ge 0}\).

A skąd wziął się warunek \(\displaystyle{ x\ge 0}\)?

Natomiast problem mam tylko z ostatnim.

I na czym ten problem konkretnie polega?

JK

[olala_uni]

Zastanawiam się czy to wyrażenie można doprowadzić do tej postaci i co dalej z nim zrobić. Pierwszy raz mam styczność z logarytmem naturalnym i kompletnie nie wiem co zrobić w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \ln}\) poprzedza \(\displaystyle{ x}\).
\(\displaystyle{ x+x\ln(2x-8) \ge 0\\
x+ \ln(2x-8) ^{x} \ge 0}\)

[Jan Kraszewski]

Przede wszystkim zacznij poprawnie używać \(\displaystyle{ \LaTeX}\)a - całe wyrażenia matematyczne dajesz w pojedyncze tagi (a nie każdy symbol z osobna i to tylko niektóre).

Pierwszy raz mam styczność z logarytmem naturalnym i kompletnie nie wiem co zrobić w sytuacji, gdy \(\displaystyle{ \ln}\) poprzedza \(\displaystyle{ x}\).

Pierwszy raz masz styczność z logarytmem naturalnym czy z logarytmem w ogóle? Bo logarytm naturalny to logarytm jak każdy inny...

\(\displaystyle{ x+x\ln(2x-8) \ge 0\\
x+ \ln(2x-8) ^{x} \ge 0}\)

Ale po co sobie życie komplikujesz?

\(\displaystyle{ x+x\ln(2x-8) \ge 0\\
x(1+\ln(2x-8))\ge 0}\)

Teraz korzystasz z wiedzy, którą posiadłaś wcześniej: założyłaś, że \(\displaystyle{ 2x-8>0}\), czyli \(\displaystyle{ x>4}\), w szczególności \(\displaystyle{ x}\) jest dodatnie. Zatem rozpatrywana nierówność jest równoważna (dlaczego?) nierówności

\(\displaystyle{ 1+\ln(2x-8)\ge 0,}\)

a rozwiązać tę nierówność nie jest trudno.

JK