Nierówności wykładnicze

[inusia146]

W rozwiązywaniu nierówności wykładniczych wykorzystujemy monotoniczność funkcji wykładniczej. Wiemy, że funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)=a^x, \ a>0, \ a \neq 1}\):
- dla \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\) jest malejąca, tzn. \(\displaystyle{ x_1<x_2 \Rightarrow a^{x_1} > a^{x_2}}\)
- dla \(\displaystyle{ a \in (1, +\infty)}\) jest rosnąca, tzn. \(\displaystyle{ x_1<x_2 \Rightarrow a^{x_1} < a^{x_2}}\)

W definicji funkcji rosnącej i malejącej jest implikacja, dlaczego zatem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych możemy wnioskować w drugą stronę, tzn. gdy np. mamy \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ a^{x_1} > a^{x_2}}\), to wnioskujemy stąd, że \(\displaystyle{ x_1<x_2 }\)?

[Dasio11]

Dlatego że z nierówności przeciwnej, \(\displaystyle{ x_1 \ge x_2}\), wynikałoby że \(\displaystyle{ a^{x_1} \le a^{x_2}}\), a to jest sprzeczne z założeniem.

[Janusz Tracz]

W drugą stronę pozwala wnioskować monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ \lg_a}\). Przykładowo \(\displaystyle{ \lg_a}\) jest malejąca dla \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) zatem:

\(\displaystyle{ a^{x_1}<a^{x_2} \Rightarrow \lg_aa^{x_1}>\lg_aa^{x_2} }\)