W rozwiązywaniu nierówności wykładniczych wykorzystujemy monotoniczność funkcji wykładniczej. Wiemy, że funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)=a^x, \ a>0, \ a \neq 1}\):
- dla \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\) jest malejąca, tzn. \(\displaystyle{ x_1<x_2 \Rightarrow a^{x_1} > a^{x_2}}\)
- dla \(\displaystyle{ a \in (1, +\infty)}\) jest rosnąca, tzn. \(\displaystyle{ x_1<x_2 \Rightarrow a^{x_1} < a^{x_2}}\)
W definicji funkcji rosnącej i malejącej jest implikacja, dlaczego zatem przy rozwiązywaniu nierówności wykładniczych możemy wnioskować w drugą stronę, tzn. gdy np. mamy \(\displaystyle{ a \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ a^{x_1} > a^{x_2}}\), to wnioskujemy stąd, że \(\displaystyle{ x_1<x_2 }\)?
Nierówności wykładnicze
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10223
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2361 razy
Re: Nierówności wykładnicze
Dlatego że z nierówności przeciwnej, \(\displaystyle{ x_1 \ge x_2}\), wynikałoby że \(\displaystyle{ a^{x_1} \le a^{x_2}}\), a to jest sprzeczne z założeniem.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4065
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1392 razy
Re: Nierówności wykładnicze
W drugą stronę pozwala wnioskować monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ \lg_a}\). Przykładowo \(\displaystyle{ \lg_a}\) jest malejąca dla \(\displaystyle{ a\in(0,1)}\) zatem:
\(\displaystyle{ a^{x_1}<a^{x_2} \Rightarrow \lg_aa^{x_1}>\lg_aa^{x_2} }\)