Wykaż, że \(\displaystyle{ \frac{\ln{(m+4)}}{\ln{(m+1)}}>\frac{\ln{(m+1)}}{\ln{(m)}},}\)
gdzie \(\displaystyle{ m \in \mathbb{Z^+} \setminus \{1\}}\).
wykazanie nierównosci
-
ann_u
- Użytkownik
- Posty: 138
- Rejestracja: 14 wrz 2018, o 18:56
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Brak
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 4 razy
wykazanie nierównosci
Ostatnio zmieniony 20 sie 2020, o 14:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: wykazanie nierównosci
Odnotujmy, że:
1) dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x}\);
2) ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln n}, \ n=2,3\ldots }\) jest nierosnący.
Drugie z tych stwierdzeń udowodnię:
funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln \ln x}\) spełnia \(\displaystyle{ f"(x)=-\frac{\ln x+1}{x^{2}\ln^{2}x}}\), a zatem jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\). Wobec tego na mocy nierówności Jensena mamy dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 2, \ \frac{1}{2}\ln \ln(n+2)+\frac{1}{2}\ln \ln n\le \ln \ln (n+1)}\)
a innymi słowy
\(\displaystyle{ \ln\left(\ln n \cdot \ln(n+2)\right)\le \ln\left(\ln^{2}(n+1)\right)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \ln x}\) jest rosnąca, więc stąd
\(\displaystyle{ \ln n\cdot \ln(n+2)\le \ln^{2}(n+1)}\), co już łatwo pociąga stwierdzenie 2).
Przejdźmy do rozwiązania zadania. Po odjęciu obustronnie jedynki dowodzona nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \frac{\ln\left(1+\frac{3}{m+1}\right)}{\ln(m+1)}>\frac{\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)}{\ln m}}\)
Teraz korzystając z 1) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \ln\left(1+\frac{3}{m+1}\right)>\frac{3}{m+4}, \ \frac{1}{m}>\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)}\), więc gdy zajdzie nierówność
\(\displaystyle{ \frac{3}{(m+4)\ln(m+1)}>\frac{1}{m\ln m} \ (*)}\), to tym bardziej zajdzie nierówność z tezy zadania.
Nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) przepiszmy w równoważnej formie
\(\displaystyle{ \frac{3m}{m+4}>\frac{\ln(m+1)}{\ln m}}\).
Z uwagi na 2) mamy \(\displaystyle{ \frac{\ln 4}{\ln 3}\ge \frac{\ln(m+1)}{\ln m}, \ m=3,4\ldots}\)
a ponadto łatwo przekonać się, że ciąg \(\displaystyle{ b_{m}=\frac{3m}{m+4}}\) jest rosnący, stąd \(\displaystyle{ \frac{3m}{m+4}\ge \frac{9}{7}, \ m=3,4\ldots}\)
Pozostaje sprawdzić dwie rzeczy:
po pierwsze jest \(\displaystyle{ \frac{9}{7}>\frac{\ln 4}{\ln 3}}\), gdyż \(\displaystyle{ 3^{9}>2^{14}}\), stąd \(\displaystyle{ (*)}\) zajdzie dla \(\displaystyle{ m\ge 3}\), czyli teza zadania jest spełniona dla \(\displaystyle{ m\ge 3}\).
No i dla \(\displaystyle{ m=2}\) sprawdzam oddzielnie, że \(\displaystyle{ \frac{\ln 6}{\ln 3}>\frac{\ln 3}{\ln 2}}\) (na logarytmicznych palcach, kurczę), co kończy dowód.
1) dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x}\);
2) ciąg \(\displaystyle{ a_{n}=\frac{\ln(n+1)}{\ln n}, \ n=2,3\ldots }\) jest nierosnący.
Drugie z tych stwierdzeń udowodnię:
funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\ln \ln x}\) spełnia \(\displaystyle{ f"(x)=-\frac{\ln x+1}{x^{2}\ln^{2}x}}\), a zatem jest wklęsła w przedziale \(\displaystyle{ (1,+\infty)}\). Wobec tego na mocy nierówności Jensena mamy dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \NN^{+}, \ n\ge 2, \ \frac{1}{2}\ln \ln(n+2)+\frac{1}{2}\ln \ln n\le \ln \ln (n+1)}\)
a innymi słowy
\(\displaystyle{ \ln\left(\ln n \cdot \ln(n+2)\right)\le \ln\left(\ln^{2}(n+1)\right)}\), a ponieważ \(\displaystyle{ \ln x}\) jest rosnąca, więc stąd
\(\displaystyle{ \ln n\cdot \ln(n+2)\le \ln^{2}(n+1)}\), co już łatwo pociąga stwierdzenie 2).
Przejdźmy do rozwiązania zadania. Po odjęciu obustronnie jedynki dowodzona nierówność przyjmuje formę
\(\displaystyle{ \frac{\ln\left(1+\frac{3}{m+1}\right)}{\ln(m+1)}>\frac{\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)}{\ln m}}\)
Teraz korzystając z 1) otrzymujemy
\(\displaystyle{ \ln\left(1+\frac{3}{m+1}\right)>\frac{3}{m+4}, \ \frac{1}{m}>\ln\left(1+\frac{1}{m}\right)}\), więc gdy zajdzie nierówność
\(\displaystyle{ \frac{3}{(m+4)\ln(m+1)}>\frac{1}{m\ln m} \ (*)}\), to tym bardziej zajdzie nierówność z tezy zadania.
Nierówność \(\displaystyle{ (*)}\) przepiszmy w równoważnej formie
\(\displaystyle{ \frac{3m}{m+4}>\frac{\ln(m+1)}{\ln m}}\).
Z uwagi na 2) mamy \(\displaystyle{ \frac{\ln 4}{\ln 3}\ge \frac{\ln(m+1)}{\ln m}, \ m=3,4\ldots}\)
a ponadto łatwo przekonać się, że ciąg \(\displaystyle{ b_{m}=\frac{3m}{m+4}}\) jest rosnący, stąd \(\displaystyle{ \frac{3m}{m+4}\ge \frac{9}{7}, \ m=3,4\ldots}\)
Pozostaje sprawdzić dwie rzeczy:
po pierwsze jest \(\displaystyle{ \frac{9}{7}>\frac{\ln 4}{\ln 3}}\), gdyż \(\displaystyle{ 3^{9}>2^{14}}\), stąd \(\displaystyle{ (*)}\) zajdzie dla \(\displaystyle{ m\ge 3}\), czyli teza zadania jest spełniona dla \(\displaystyle{ m\ge 3}\).
No i dla \(\displaystyle{ m=2}\) sprawdzam oddzielnie, że \(\displaystyle{ \frac{\ln 6}{\ln 3}>\frac{\ln 3}{\ln 2}}\) (na logarytmicznych palcach, kurczę), co kończy dowód.