Podrójna nierówność

[mol_ksiazkowy]

Udowodnić,że \(\displaystyle{ |e^x -1| \leq e^{|x|}-1 < |x|e^{|x|}}\) gdy \(\displaystyle{ x \neq 0}\)

[Jan Kraszewski]

"Podrójna nierówność" to taka nierówność pomiędzy podwójną a potrójną, czyli jakieś dwie i pół nierówności...

JK

[a4karo]

I racja to, bo dla dodatnich `x` lewa nierówność jest równością, więc nierówności mamy tylko dwie i pół

Jeżeli zaś `x<0`, to
\(\displaystyle{ |e^x-1|=1-e^x< 1-\frac{1}{e^{-x}}=\frac{e^{|x|}-1}{e^{|x|}}<e^{|x|}-1}\)

Prawa zaś wynika z faktu, że funkcja `e^x` jest wypukła i nierówność Hermite-Hadamarda daje dla `x>0`

\(\displaystyle{ \frac{e^x-1}{x}=\frac{1}{x}\int_0^x e^tdt\leq\frac{e^x+e^0}{2}<e^{x}}\)

Dodano po 3 minutach 39 sekundach:
Prawą nierówność możne też zrobić używając mojej ulubionej własności funkcji wypukłych: monotoniczności ilorazów różnicowych:
dla `0<y<x` mamy
\(\displaystyle{ \frac{e^x-e^0}{x-0}<\frac{e^x-e^y}{x-y}<\lim_{y\to x_-}\frac{e^x-e^y}{x-y}=(e^x)'=e^x}\)

[Premislav]

Na prawą nierówność można spojrzeć też tak: dla \(\displaystyle{ x>0}\) jest
\(\displaystyle{ \int_{1}^{e^{x}}\ln t \mbox{d}t> 0}\)
wszak jest to całka z funkcji dodatniej w \(\displaystyle{ \left(1, e^{x}\right]}\)
Po przeliczeniu tej całki mamy:
\(\displaystyle{ xe^{x}-e^{x}+1>0}\)
co jest równoważne tezie.
No a dla \(\displaystyle{ x<0}\) nie ma problemu, bo obie strony nierówności określają funkcje parzyste.