Przekształć wyrażenie z logarytmami

[matmat123]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu.

\(\displaystyle{ ( \log_{a} b + \log_{b}a + 2)( \log_{a}b - \log_{ab}b) \cdot \log_{b}a - 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} , b \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} }\)

Poprawna odpowiedź to
\(\displaystyle{
\log_{a}b
}\)

[a4karo]

Znasz związek między `\log_ab` i `\log_ba`?

[matmat123]

Nie do końca rozumiem. Na przykład, że \(\displaystyle{ \log_{a} b = \frac{1}{ \log_{b}a }}\) ?

[piasek101]

Tak o to.
Podpowiedź - zamień najpierw wszystkie na takie o podstawie \(\displaystyle{ b}\).

[JHN]

Niech
\(\displaystyle{ w=( \log_{a} b + \log_{b}a + 2)( \log_{a}b - \log_{ab}b) \cdot \log_{b}a - 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} , b \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} }\)
oraz
\(\displaystyle{ \log_ab=x\wedge x\ne 0\wedge x\ne -1}\)
wtedy
\(\displaystyle{ w=\left( x + \frac{1}{x} + 2\right)\left( x - \frac{x}{1+x}\right) \cdot \frac{1}{x} - 1=\cdots}\)

Pozdrawiam

[a4karo]

Niech
\(\displaystyle{ w=( \log_{a} b + \log_{b}a + 2)( \log_{a}b - \log_{ab}b) \cdot \log_{b}a - 1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} , b \in \RR_+ \setminus \left\{ 1\right\} }\)
oraz
\(\displaystyle{ \log_ab=x\wedge x\ne 0\wedge x\ne -1}\)
wtedy
\(\displaystyle{ w=\left( x + \frac{1}{x} + 2\right)\left( x - \frac{x}{1+x}\right) \cdot \frac{1}{x} - 1=\cdots}\)

Pozdrawiam

Pozwól autorce zrobić coś samodzielnie. Wiemy, że umiesz, ale to ona ma się nauczyć

[JHN]

Pozwól autorce zrobić coś samodzielnie. Wiemy, że umiesz, ale to ona ma się nauczyć

Masz rację... Zastosowanie takiego "skrótu rachunkowego" wg mnie zasługuje jednak na rozpropagowanie

Pozdrawiam