Wartość bezwzględna cosinusa

[Jan Kraszewski]

Troszkę inaczej:
Skoro
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha =- \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2} ; 2\pi \right)}\)
to
\(\displaystyle{ \cos 2\alpha =+ \frac{5}{13}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg\alpha}\),

Jak dla mnie zdecydowanie prościej jest skorzystać z (chyba prostszej i popularniejszej) tożsamości

\(\displaystyle{ \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1}\)

skąd od razu dostajemy

\(\displaystyle{ \cos^2\alpha=\frac{9}{13},}\)

a stąd do rozwiązania jeszcze bliżej...

JK

[Niepokonana]

Czy możemy uwzględnić obie wartości bezwzględne kosinusa

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{3}{\sqrt{13}} \right|= \frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0,832, }\)

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{2}{\sqrt{13}}\right |= \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0,555. }\)

Co nie jest prawdą, bo warunkiem było \(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac{3\pi}{4},\pi\right) }\), a tylko jedno rozwiązanie spełnia ten warunek.

JK

Ale dlaczego tylko jedno rozwiązanie spełnia ten warunek? Ja nie rozumiem.

[janusz47]

Panie Kraszewski, szkoda że się Pan wtrąca. To proszę już wytłumaczyć Pani dlaczego tylko jedno rozwiązanie spełnia warunki zadania?

[Niepokonana]

Wiecie Panowie, ja nie chcę za bardzo zaspamiać forum, inni bardziej potrzebują pomocy, bo i tak mam tutaj za dużo wątków, także proszę o wyjaśnienie, które zrozumiem od razu.

[Jan Kraszewski]

Panie Kraszewski, szkoda że się Pan wtrąca.

To trzeba było głupot nie wypisywać.

To proszę już wytłumaczyć Pani dlaczego tylko jedno rozwiązanie spełnia warunki zadania?

Ponieważ gdy \(\displaystyle{ \cos\alpha=-\frac{2}{ \sqrt{13} }>-\frac{ \sqrt{2} }{2}=\cos\frac{3\pi}{4},}\) to \(\displaystyle{ \alpha<\frac{3\pi}{4},}\) gdyż cosinus jest na tym przedziale malejący. Zatem wówczas \(\displaystyle{ \alpha\notin\left(\frac{3\pi}{4},\pi \right).}\)

JK

[janusz47]

Bo dla \(\displaystyle{ \cos(\alpha) = -\frac{2}{\sqrt{13}}, \ \ \alpha \approx 123, 7^{o} \notin \left( 135^{o}, 180^{o}\right).}\)

Dodano po 4 minutach 8 sekundach:
Pokazałem Pani rozwiązania dwóch układów równań, z którego należało wybrać jedno - to pierwsze i nie uważam to za głupotę.

Proponowane rozwiązanie Przez Pana Panie Kraszewski z wykorzystaniem funkcji podwojonego kąta wcale nie jest prostsze.

Dodano po 3 minutach 30 sekundach:
Panie JHN najprostsza tożsamość szkolna to jedynka trygonometryczna.

[Jan Kraszewski]

Pokazałem Pani rozwiązania dwóch układów równań, z którego należało wybrać jedno - to pierwsze i nie uważam to za głupotę.

Ależ skąd, zrobiłeś coś innego - stwierdziłeś, że są DWA rozwiązania. Słowem się nie zająknąłeś, wbrew temu, co teraz twierdzisz, że należy wybrać jedno rozwiązanie z dwóch. Nie odwracaj więc teraz kota ogonem.

Proponowane rozwiązanie Przez Pana Panie Kraszewski z wykorzystaniem funkcji podwojonego kąta wcale nie jest prostsze.

Dla Ciebie może nie jest. Jest za to krótsze, nie wymaga rozwiązywania dwóch układów równań, od razu dostajemy też jedno rozwiązanie (po skorzystaniu z ujemności cosinusa).

JK

[janusz47]

Proszę nie wciskać nieprawdy, to jest bezczelność i przejrzeć od początku moje odpowiedzi. Gdybym nie podał rozwiązania \(\displaystyle{ \cos(\alpha) = -\frac{2}{\sqrt{13}} }\) to Pani do tej pory nie wiedziałaby, dlaczego należy przyjąć tylko jedno rozwiązanie.

[Niepokonana]

Ja nie chcę, żeby Panowie się kłócili. Już dobrze.
Panie Januszu, bo ja pańskiego rozwiązania nie rozumiem. Ja nie potrzebowałam nowego rozwiązania, tylko poprawki w pierwszym.
Takich zadań wcześniej nie rozwiązywałam, więc mogę mieć pewne trudności, tylko mam za mało na nie czasu.

[a4karo]

No to ja może przy pomocy kartki w kratkę to zrobię:

Rozpatrzmy trójkąt o wierzchołkach `O=(0,0), A=(5,-12), B=(13,0)`. Trójkąt `BOA` jest równoramienny a kąt `\angle BOA=2\pi - 2\alpha`.
Wyznaczmy wspłrzędne punktu `C` takiego, że \(\vec{OC}=\vec{OB}+\vec{OA}\). Łatwo widać, że `C=(18,-12)`. Figura `OACB` jest rombem, a kąt \(\angle BOC\) jest połową kąta `\angle BOA`. Moduł kosinusa szukanego kąta wynosi zatem \(\frac{18}{\sqrt{18^2+12^2}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\)

[Jan Kraszewski]

Proszę nie wciskać nieprawdy, to jest bezczelność i przejrzeć od początku moje odpowiedzi.

Przejrzałem i przyznaję, że nie stwierdziłeś, iż są dwa rozwiązania, tylko zadałeś dziwne pytanie bez znaku zapytania. Cofam zatem swoje stwierdzenie, iż twierdziłeś, że są dwa rozwiązania i przepraszam za nie dość uważne przeczytanie zawiłej formy.

Gdybym nie podał rozwiązania \(\displaystyle{ \cos(\alpha) = -\frac{2}{\sqrt{13}} }\) to Pani do tej pory nie wiedziałaby, dlaczego należy przyjąć tylko jedno rozwiązanie.

No tu raczej się nie zgodzę, bo Niepokonana kilka razy stwierdziła, że nie rozumie Twojego rozwiązania. Ale to tylko moje zdanie.

JK

[Niepokonana]

Nie no, Pan doktor ma rację, ja to widzę tak, że pan Janusz bez kontekstu wstawia mi rozwiązanie tak po prostu, kiedy ja tylko proszę o sprawdzenie mojego rozwiązania.
Nie ma się o co spinać.
Ja jeszcze mam przynajmniej kilkanaście zadań, które są ciekawsze niż to.

[a4karo]

janusz47 w konkursie na najbardziej zamotane rozwiązanie tego prostego zadania masz złoty medal ze wstęgą

[kerajs]

Ja nie potrzebowałam nowego rozwiązania, tylko poprawki w pierwszym.

W swoim rozwiązaniu dochodzisz do dwóch pierwiastków równania kwadratowego:
\(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha = \frac{4}{13} \ \ \vee \ \ \cos ^2 \alpha = \frac{9}{13} }\)
a)
Możesz od razu pierwiastkować dostając:
\(\displaystyle{ \left| \cos \alpha\right|= \frac{2}{ \sqrt{13} } \ \ \vee \ \ \left| \cos \alpha\right|= \frac{3}{ \sqrt{13} }}\)
Musisz jednak uwzględnić założenie: \(\displaystyle{ \alpha \in \left( \frac{3 \pi }{4}, \pi \right) }\)
Liczysz:
\(\displaystyle{ \cos \frac{3 \pi }{4} = \frac{- \sqrt{2} }{2} \\
\cos \pi =-1}\)
stąd \(\displaystyle{ \left| cos \alpha \right| \in \left( \frac{ \sqrt{2} }{2}, 1\right) }\)
Jeśli używasz kalkulatora (co sugeruje treść zadania) to wyliczasz wartości liczbowe obu wyników i mniejszą,nie należącą do zadanego przedziału odrzucasz.
Bez kalkulatora sprawdzasz to przykładowo tak:
Zakładam że \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{13} }> \frac{ \sqrt{2} }{2} }\) więc
\(\displaystyle{ \frac{4}{13}> \frac{2}{4}\\
16>26}\)
Nierówność nie zachodzi, więc założenie było błędne. A skoro \(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{13} }< \frac{ \sqrt{2} }{2} }\) to należy odrzucić rozwiązanie \(\displaystyle{ \left| \cos \alpha\right|= \frac{2}{ \sqrt{13} }}\) . Dla formalności wypada sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left| \cos \alpha\right|= \frac{3}{ \sqrt{13} } }\) jest szukaną wartością.

b) Możesz sprawdzić jakie wartości przyjmuje kwadrat kosinusa kąta z podanego przedziału.
Skoro:
\(\displaystyle{ \cos \frac{3 \pi }{4} = \frac{- \sqrt{2} }{2} \Rightarrow \cos^2 \frac{3 \pi }{4}= \frac{1}{2} \\
\cos \pi =-1 \Rightarrow \cos^2 \pi =1}\)
to \(\displaystyle{ \cos^2 \alpha \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right) }\).
Teraz łatwo stwierdzić który z pierwiastków trójmianu: \(\displaystyle{ \cos ^2 \alpha = \frac{4}{13} \ \ \text{lub} \ \ \cos ^2 \alpha = \frac{9}{13} }\) spełnia założenie.

[janusz47]

Pani Niepokonana podałem Pani rozwiązanie proste, wykorzystujące równania drugiego, a nie czwartego stopnia. Uważam że jest to najprostsze szkolne rozwiązanie, wykorzystujące sumę kwadratów sinusa i kosinusa. Pomijam rozwiązanie geometryczne Pana a4karo.