Wartość bezwzględna cosinusa

[Niepokonana]

Witam
Proszę o pomoc, gdzieś mam błąd w obliczeniach. Szybkie pytanie, tylko proszę o wskazanie błędu.
Oblicz \(\displaystyle{ |\cos \alpha |}\) jeżeli \(\displaystyle{ \sin 2\alpha =- \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in ( \frac{3}{4} \pi ; \pi )}\). I jeszcze trzeba podać to jako trzy pierwsze liczby ułamka dziesiętnego.

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \cos \alpha <0}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha >0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{6}{13}=\sin\alpha\cos\alpha \\ 1=\sin ^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha \end{cases} }\)

Dochodzę do równania czwartego stopnia po drobnych przekształceniach w pamięci.
\(\displaystyle{ 0=\cos^{4}\alpha-\cos^{2}\alpha + \frac{36}{169}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{\delta}= \frac{5}{13} }\)
Bierzemy rozwiązanie tego równania, które jest większe od zera i mniejsze od jedynki, bo tylko takie wartości przyjmuje cosinus kwadrat/czwartego stopnia. I jest to \(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha= \frac{4}{13} }\).
I to trzeba jeszcze spierwiastkować i wziąć ujemny cosinus, czyli ostatecznie szukany cosinus to \(\displaystyle{ \cos\alpha=- \frac{2 \sqrt{13} }{13} }\).
Tylko to nie jest dobra odpowiedź...
I teraz pytanie, gdzie ja popełniłam błąd? To równanie czwartego stopnia jest napisane źle, powinno być inne, czy je źle rozwiązałam?

[janusz47]

Niepotrzebnie pierwsze równanie podzielone przez 2.

Wystarczy dodać równania stronami i mamy po prawej stronie kwadrat sumy sinusa i kosinusa (wzór skróconego mnożenia).

[Niepokonana]

Dziękuję, a jak już mamy równanie \(\displaystyle{ \frac{1}{13}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}}\), to jak się pozbyć sinusa?

[kerajs]

I teraz pytanie, gdzie ja popełniłam błąd? To równanie czwartego stopnia jest napisane źle, powinno być inne, czy je źle rozwiązałam?

Błąd to odrzucenie dobrego pierwiastka: \(\displaystyle{ \cos^2 \alpha = \frac{1+ \frac{5}{13} }{2} = \frac{9}{13}}\) na rzecz błędnego (czyli takiego, którego kąt nie należy do zadanego przedziału) .


PS
Inna droga:
\(\displaystyle{ \cos 2 \alpha = \frac{5}{13}\\
2\cos^2 \alpha -1= \frac{5}{13}\\
....\\
....}\)

[Niepokonana]

Ale my nie wiemy, ile wynosi cosinus dwóch alfa, prawda? I pięć trzynastych to jest pierwiastek z delty.

Dodano po 3 minutach 9 sekundach:
I skąd wiemy, który pierwiastek równania jest dobry?

[kerajs]

Ależ wiemy:
\(\displaystyle{ \sin^22 \alpha +\cos^22 \alpha =1 \ \ \wedge \ \ \alpha \in ( \frac{3}{2} \pi ,2 \pi )\\
\cos^22 \alpha =1-( \frac{12}{13} )^2\\
\cos 2 \alpha = \frac{5}{13} }\)

To, że \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} }\) wynosi tyle samo, jest jedynie zbiegiem okoliczności.

PS
Jak jeszcze Janusz pokaże swoje rozwiązanie to dopiero zobaczysz ...

PPS
Już napisałem skąd wiadomo który pierwiastek wybrać. Przeczytaj dokładniej poprzedni post.

[Niepokonana]

A że mamy ten przedział. I skąd wiadomo, że on nie należy? Bo jest to za mały cosinus?

[janusz47]

Zaczęła Pani dobry sposób rozwiązania zadania, otrzymując układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{cases} (\sin(\alpha) + \cos(\alpha))^2 = \frac{1}{13} \\ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = -\frac{12}{13} \\ \alpha\in \left(-\frac{3}{4}\pi, \pi \right) \end{cases} }\)

równoważny dwóm układom

\(\displaystyle{ \begin{cases} (\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{13}} \\ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = -\frac{12}{13} \\ \alpha\in \left(\frac{3}{4}\pi, \pi \right) \end{cases} }\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} (\sin(\alpha) + \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{13}} \\ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) = -\frac{12}{13} \\ \alpha\in \left(\frac{3}{4}\pi, \pi \right) \end{cases} }\)

Powstaje pytanie, czy musimy rozwiązywać, oba te układy równań (tzn. wyznaczyć \(\displaystyle{ \sin(\alpha) }\) z pierwszego równania i wstawić do równania drugiego), aby wyznaczyć wartość \(\displaystyle{ |\cos(\alpha)|? }\)

Pamiętamy, że sinus dla przyjętego zakresu kąta \(\displaystyle{ \alpha }\) jest dodatni i kosinus ujemny.

[Niepokonana]

Nie no, interesuje nas tylko cosinus.
I też wyjdzie \(\displaystyle{ -\frac{3 \sqrt{13} }{13} }\)

[janusz47]

Kosinus występuje w pierwszym i drugim układzie równań.

[Niepokonana]

No nas chyba interesuje ten pierwszy układ równań, bo przecież odrzucamy dodatni wynik.

Dodano po 12 sekundach:
Panie Januszu, ja już nic nie rozumiem.

[janusz47]

Rozwiązujemy pierwszy układ równań

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = -\frac{1}{\sqrt{13}} -\cos(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ -2 \left(\frac{1}{\sqrt{13}} +\cos(\alpha \right )\cos(\alpha) = -\frac{12}{13}| \cdot -\frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt{13}} +\cos(\alpha\right)\cos(\alpha) = \frac{6}{13}}\)

\(\displaystyle{ \cos^2(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{13}}\cos(\alpha) -\frac{6}{13} = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \frac{25}{13}, \ \ \sqrt{\Delta} = \frac{5}{\sqrt{13}} }\)

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{\frac{-1}{\sqrt{13}} - \frac{5}{\sqrt{13}}}{2} = -\frac{3}{\sqrt{13}},}\)

lub

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{\frac{-1}{\sqrt{13}} + \frac{5}{\sqrt{13}}}{2} = \frac{2}{\sqrt{13}} > 0 }\)

Rozwiązujemy drugi układ równań

\(\displaystyle{ \sin(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{13}} -\cos(\alpha) }\)

\(\displaystyle{ 2 \left(\frac{1}{\sqrt{13}} -\cos(\alpha \right )\cos(\alpha) = -\frac{12}{13}| \cdot \frac{1}{2} }\)

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{\sqrt{13}} -\cos(\alpha\right)\cos(\alpha) = -\frac{6}{13}}\)

\(\displaystyle{ -\cos^2(\alpha) + \frac{1}{\sqrt{13}}\cos(\alpha) +\frac{6}{13} = 0 }\)

\(\displaystyle{ \Delta = \frac{25}{13}, \ \ \sqrt{\Delta} = \frac{5}{\sqrt{13}} }\)

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{\frac{-1}{\sqrt{13}} - \frac{5}{\sqrt{13}}}{-2} = \frac{3}{\sqrt{13}}>0,}\)

lub

\(\displaystyle{ \cos(\alpha) = \frac{\frac{-1}{\sqrt{13}} + \frac{5}{\sqrt{13}}}{-2} = -\frac{2}{\sqrt{13}} < 0 }\)

Czy możemy uwzględnić obie wartości bezwzględne kosinusa

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{3}{\sqrt{13}} \right|= \frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0,832, }\)

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{2}{\sqrt{13}}\right |= \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0,555. }\)

[Niepokonana]

Panie Januszu, ja nie wiem, co Pan robi i dlaczego Pan robi, ja próbuję zrozumieć, dlaczego jedno rozwiązanie nie pasuje ze względu na przedział.

[Jan Kraszewski]

Czy możemy uwzględnić obie wartości bezwzględne kosinusa

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{3}{\sqrt{13}} \right|= \frac{3}{\sqrt{13}}\approx 0,832, }\)

\(\displaystyle{ |\cos(\alpha)| = \left|-\frac{2}{\sqrt{13}}\right |= \frac{2}{\sqrt{13}} \approx 0,555. }\)

Co nie jest prawdą, bo warunkiem było \(\displaystyle{ \alpha\in\left( \frac{3\pi}{4},\pi\right) }\), a tylko jedno rozwiązanie spełnia ten warunek.

JK

[JHN]

Troszkę inaczej:
Skoro
\(\displaystyle{ \sin 2\alpha =- \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ 2\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2} ; 2\pi \right)}\)
to , jak napisał kerajs
\(\displaystyle{ \cos 2\alpha =+ \frac{5}{13}}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ \cos 2\alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}}\), gdzie \(\displaystyle{ t=\tg\alpha}\),
to
\(\displaystyle{ \frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{5}{13}}\)
czyli
\(\displaystyle{ t^2=\frac{4}{9}}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{4}{9}}\)
i do odpowiedzi blisko...

Pozdrawiam

[edited] uzupełnienie