Wartość bezwzględna cosinusa

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: Niepokonana »

Ale tu chodzi o formę podania rozwiązania.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: janusz47 »

Nie rozumiem.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: a4karo »

janusz47 pisze: 14 mar 2020, o 20:20 Pani Niepokonana podałem Pani rozwiązanie proste, wykorzystujące równania drugiego, a nie czwartego stopnia. Uważam że jest to najprostsze szkolne rozwiązanie, wykorzystujące sumę kwadratów sinusa i kosinusa. Pomijam rozwiązanie geometryczne Pana a4karo.
Nie wiem czemu, ale Twoje próby przekonywania wszystkich, że własnie Twoje rozwiązanie jest najprostsze, najlepsze i w ogóle jedyna na świecie brzmią żenująco (dużo prostszy argument pokazał JK - bardziej szkolne, niż Twoje. Proszę, wykorzystaj szansę i już nie komentuj.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: janusz47 »

a4karo
Młodzieży trudniej rozwiązywać zadania z wykorzystaniem wzorów na \(\displaystyle{ \cos(2\alpha), \ \ \sin(2\alpha), \ \ \tg(2\alpha) }\) niż jedynki trygonometrycznej. Mogę to stwierdzić z własnej praktyki dydaktycznej.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34123
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: Jan Kraszewski »

Proponuję skończyć dyskusję na temat tego, które rozwiązanie jest najlepsze. Niepokonana sama wybierze sobie to, które będzie jej pasowało.
Niepokonana pisze: 14 mar 2020, o 20:27Ale tu chodzi o formę podania rozwiązania.
To jest zapewne zadanie maturalne skróconej odpowiedzi, masz zatem podać pierwsze trzy cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ \frac{3}{ \sqrt{13} }.}\) A jeśli nie o to Ci chodzi, to o co?

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: a4karo »

Niepokonana pisze: 14 mar 2020, o 14:07 Witam
Proszę o pomoc, gdzieś mam błąd w obliczeniach. Szybkie pytanie, tylko proszę o wskazanie błędu.
Oblicz \(\displaystyle{ |\cos \alpha |}\) jeżeli \(\displaystyle{ \sin 2\alpha =- \frac{12}{13}}\) i \(\displaystyle{ \alpha \in ( \frac{3}{4} \pi ; \pi )}\). I jeszcze trzeba podać to jako trzy pierwsze liczby ułamka dziesiętnego.

Moje obliczenia:
\(\displaystyle{ \cos \alpha <0}\) i \(\displaystyle{ \sin \alpha >0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} - \frac{6}{13}=\sin\alpha\cos\alpha \\ 1=\sin ^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha \end{cases} }\)

Dochodzę do równania czwartego stopnia po drobnych przekształceniach w pamięci.
\(\displaystyle{ 0=\cos^{4}\alpha-\cos^{2}\alpha + \frac{36}{169}}\) \(\displaystyle{ \sqrt{\delta}= \frac{5}{13} }\)
Bierzemy rozwiązanie tego równania, które jest większe od zera i mniejsze od jedynki, bo tylko takie wartości przyjmuje cosinus kwadrat/czwartego stopnia. I jest to \(\displaystyle{ \cos^{2}\alpha= \frac{4}{13} }\).
I to trzeba jeszcze spierwiastkować i wziąć ujemny cosinus, czyli ostatecznie szukany cosinus to \(\displaystyle{ \cos\alpha=- \frac{2 \sqrt{13} }{13} }\).
Tylko to nie jest dobra odpowiedź...
I teraz pytanie, gdzie ja popełniłam błąd? To równanie czwartego stopnia jest napisane źle, powinno być inne, czy je źle rozwiązałam?
Błąd popełniłaś w wyborze pierwiastka

Jak przyjrzysz się równaniu \(\displaystyle{ 0=\cos^{4}\alpha-\cos^{2}\alpha + \frac{36}{169}}\), to zauważysz, żę rozwiązaniem układu (Viete)
$$u+v=1, \quad uv=\frac{36}{169}$$
są liczby ze zbioru \(\{4/13, 9/13\}\).
Łatwo widać, że jedna liczba jest kwadratem kosinusa, a druga kwadratem sinusa. Dla kąta z zadanego przedziału tangens jest zawarty między `-1` i `0`, zatem kwadrat tangensa jest między `0` i `1`. Czyli kwadrat sinusa musi być mniejszy niż kwadrat kosinusa. A zatem szukanym kwadratem kosinusa jest `9/13`.
Awatar użytkownika
Niepokonana
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1546
Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 335 razy
Pomógł: 20 razy

Re: Wartość bezwzględna cosinusa

Post autor: Niepokonana »

Tak, o to chodzi, Panie doktorze. Tylko że cyfra jedności i dwie pierwsze.
Próbuję zrozumieć pańskie rozumowanie, Panie a4karo.
ODPOWIEDZ