Strona 1 z 1

Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 15:45
autor: cmnstrnbnn
Wiedząc, że:
\(\displaystyle{ a,b,c,d,n \in \mathbb{N} }\)
\(\displaystyle{ a>b }\)
\(\displaystyle{ c>d }\)
wykaż, że istnieje takie n, że ta nierówność jest prawdziwa
\(\displaystyle{ a(1+c)^{n}>b(1+d)^{n}}\)

To więc mój dowód wygląda tak:
\(\displaystyle{ a(1+c)^{n}>b(1+d)^{n}}\) dzielę obustronnie przez: \(\displaystyle{ a(1+d) }\)
\(\displaystyle{ (\frac{1+c}{1+d})^{n}> \frac{a}{b} }\) oraz, można zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1+c}{1+d}>1}\), więc z monotoniczności funkcji wykładniczej, musi istnieć takie n, dla którego nierówność będzie prawdziwa. Co kończy dowód

Re: Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 15:59
autor: Dasio11
cmnstrnbnn pisze:
29 gru 2019, o 15:45
\(\displaystyle{ (\frac{1+c}{1+d})^{n}> \frac{a}{b} }\) oraz, można zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1+c}{1+d}>1}\), więc z monotoniczności funkcji wykładniczej, musi istnieć takie n, dla którego nierówność będzie prawdziwa.
W jaki sposób wynika to z monotoniczności funkcji wykładniczej?

Re: Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 16:03
autor: cmnstrnbnn
Dasio11 pisze:
29 gru 2019, o 15:59
W jaki sposób wynika to z monotoniczności funkcji wykładniczej?
Ponieważ, jeżeli mamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)=a^{x} }\), gdzie \(\displaystyle{ a>0}\), to wtedy ta funkcja jest zawsze rosnąca, przyjmuje tylko i wyłącznie wartości dodatnie, oraz jest to funkcja różnowartościowa.

Re: Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 16:32
autor: Dasio11
Pomijając fakt, że wypisane przez Ciebie własności zachodzą nie dla \(\displaystyle{ a > 0}\), lecz dla \(\displaystyle{ a > 1}\), nie wynika z nich istnienie liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) dla której zachodzi potrzebna nierówność. Gdyby bowiem wynikało, to analogiczne rozumowanie dowodziłoby, iż istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) dla której \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + \mathrm{arctg} \, n > \pi}\), bo przecież funkcja \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2} + \mathrm{arctg} \, x}\) jest rosnąca, przyjmuje tylko wartości dodatnie i jest różnowartościowa. Jednak takie \(\displaystyle{ n}\) oczywiście nie istnieje, bo dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR}\) jest \(\displaystyle{ 0 < \frac{\pi}{2} + \mathrm{arctg} \, x < \pi}\).

Re: Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 16:56
autor: cmnstrnbnn
Dasio11 pisze:
29 gru 2019, o 16:32
Pomijając fakt, że wypisane przez Ciebie własności zachodzą nie dla \(\displaystyle{ a > 0}\), lecz dla \(\displaystyle{ a > 1}\), nie wynika z nich istnienie liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) dla której zachodzi potrzebna nierówność.
Ojć, faktycznie, miałem na myśli \(\displaystyle{ a > 1}\). Czy zatem muszę też dopisać, że funkcja \(\displaystyle{ \Bigl(\frac{1+c}{1+d}\Bigr)^{n} }\) ma zbiór wartości od 0 do nieskończoności?

Re: Czy to jest dobrze przeprowadzony dowód z wykorzystaniem monotoniczności funkcji wykładniczej?

: 29 gru 2019, o 17:45
autor: Dasio11
Takie stwierdzenie byłoby w najlepszym razie niejasne, a w najgorszym nieprawdziwe. Literka \(\displaystyle{ n}\) standardowo oznacza liczbę naturalną, więc napisany przez Ciebie wzór definiuje nie funkcję o dziedzinie \(\displaystyle{ \RR}\), lecz ciąg (czyli funkcję o dziedzinie \(\displaystyle{ \NN}\)), a to wyklucza przyjmowanie wszystkich wartości dodatnich.

Zamiast tego lepiej powołać się na znany fakt, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ q > 1}\) jest

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} q^n = \infty}\).

Kładąc w nim \(\displaystyle{ q = \frac{1+c}{1+d}}\), natychmiast dostajemy istnienie odpowiedniego \(\displaystyle{ n}\).