Przekształcanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych

[Xenon02]

Witam !!

Mam mały problem z przekształcaniem funkcji (a dokładnie z określeniem kolejności tych przekształceń).

Dla przykładu :
\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{3} ^{x-2}-1 \right| }\)

Tutaj właśnie ta kolejność

Pierwsza ma być wartość bezwzględna czy raczej przesunięcie wykresu ?

Zobaczyłem w odpowiedziach że najpierw trzeba zrobić przenoszenie wykresu a dopiero później wartość bezwzględna.

f(x) ----> [2,-1] ----> wart. bezwglęzdna

a w tym przykładzie jest inaczej ...

\(\displaystyle{ -2 \left| ^{x+2} \right| }\)

Tutaj kolejność jest kompletnie inna.

Jak w poprzednim przykładzie wartość bezwzględna była brana pod uwagę na samym końcu tak tutaj jest na samym początku, Sox jak i Soy jest podobna sprawa, i do końca nie wiem jak się za to zabrać, tak jak wiem jakie czynności trzeba robić tak nie wiem w jakiej kolejności.

a w tym przykładzie wygląda to następująco.

\(\displaystyle{ 2 ^{x} }\) ----> wart.bezwzględna ---> [-2,0] ----> Sox

Pozdrawiam

[janusz47]

Wykres funkcji początkowej:

\(\displaystyle{ f(x) = \left(\frac{1}{3} \right)^{x} }\)

Przesunięcie o wektor \(\displaystyle{ \vec{w} = [ 2, \ \ -1] }\) (nie zapominamy o asymptocie poziomej \(\displaystyle{ y = -1).}\)

\(\displaystyle{ g(x) = \left( \frac{1}{3} \right)^{x - 2} - 1 }\)

Odbicie symetryczne części wykresu funkcji \(\displaystyle{ g, }\) znajdującego się pod osią \(\displaystyle{ Ox }\) nad tą oś ( nie zapominamy o ... )

\(\displaystyle{ h(x) = \left| \left( \frac{1}{3} \right)^{x - 2} - 1 \right|.}\)

[Xenon02]

Ale dlaczego to tak wychodzi ?

Zauważ że w innym przykładzie wartość bezwzględna jest brana kompletnie na końcu a na innym gdzieś pośrodku.

np

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3} ^{x} +2 }\)

Tutaj na przykład jest tak że

podstawa ----> Sox ---> [2,0]

Tutaj Sox jest na początku.
w porównaniu do innego przykładu gdzie Sox jest na końcu.

Nie wiem jak się za to zabrać ...

Tak samo jest z Soy czasami jest na początku a czasami na końcu. A co jak będę miał Sox i Soy

Pozdrawiam

[Jan Kraszewski]

Ale dlaczego to tak wychodzi ?

Bo tak jest poprawnie?

Zauważ że w innym przykładzie wartość bezwzględna jest brana kompletnie na końcu a na innym gdzieś pośrodku.

To w jakiej kolejności stosujesz przekształcenia wykresu zależy od konkretnego przykładu (a ponadto czasem można to zrobić na różne sposoby). Czego oczekujesz?

\(\displaystyle{ - \frac{2}{3} ^{x} +2 }\)

A co to jest? To może być równie dobrze \(\displaystyle{ - \frac{2^{x}}{3} +2 }\) jak i (mniej dobrze) \(\displaystyle{ - \left( \frac{2}{3}\right) ^{x} +2 }\) czy (jeszcze mniej dobrze) \(\displaystyle{ \left( - \frac{2}{3}\right) ^{x} +2 }\). Skąd my mamy wiedzieć, co masz na myśli?

Tutaj na przykład jest tak że

podstawa ----> Sox ---> [2,0]

Tego to już w ogóle nie rozumiem, bo nie pasuje do żadnej z powyższych wersji.

JK

[Xenon02]

Może ja się źle wyraziłem (wciąż uczę się posługiwaniem się funkcją latex)

przepiszę jeszcze raz przykład

\(\displaystyle{ - \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} +2 }\)

Według książki rozwiązanie wygląda następująca :

Najpierw bierzemy podstawę

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} ^{x} }\) ---- potem ---> Sox ---> a na samym końcu przez wektory [0,2]

A czemu nie mogę zrobić takiej kolejności ?

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} ^{x} }\) ---- potem ---> a na samym końcu przez wektory [0,2] ---> Sox

???

Albo taki przykład :

\(\displaystyle{ -2 ^{\left| x+2 \right| } }\)

Rozwiązanie wygląda następująco z książki :

\(\displaystyle{ 2 ^{x} }\)----> wektory [-2,0] ---> wartość bezwzględna ---> Sox (tutaj mamy na samym końcu Sox)

Dlaczego nie mogę najpierw Sox potem wektory a na samym końcu wartość bezwzględną ?

Albo też w tym przykładzie :

\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{3} ^{x-2}-1 \right| }\)

Według książki :

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} ^{x} }\) ---->wektory [2,-1]---> wartość bezwzględna

nie można a opak ?

Wybaczcie jeśli tyle przykładów to za dużo

[Psiaczek]

powinieneś na najprostszych przykładach pojąć że te operacje nie są przemienne :

weźmy \(\displaystyle{ f(x)=2^x}\)
1) przesuwamy o wektor powiedzmy \(\displaystyle{ [0,3]}\)

\(\displaystyle{ 2^x+3}\)

2)symetria względem osi \(\displaystyle{ OX}\)

\(\displaystyle{ -(2^x+3)=-2^x-3}\)

a teraz odwrotnie

1)symetria wzgl.\(\displaystyle{ OX}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ -2^x}\)

2)przesunięcie tego o wektor \(\displaystyle{ [0,3]}\) otrzymujesz \(\displaystyle{ -2^x+3}\)

wyniki końcowe są różne, kolejność przekształceń ma znaczenie

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ - \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} +2 }\)

Według książki rozwiązanie wygląda następująca :

Najpierw bierzemy podstawę

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} ^{x} }\) ---- potem ---> Sox ---> a na samym końcu przez wektory [0,2]

A czemu nie mogę zrobić takiej kolejności ?

\(\displaystyle{ \frac{2}{3} ^{x} }\) ---- potem ---> a na samym końcu przez wektory [0,2] ---> Sox

Bo wtedy dostaniesz wykres funkcji \(\displaystyle{ - \left( \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} +2\right) = - \left( \frac{2}{3} \right) ^{x} -2.}\)

Albo taki przykład :

\(\displaystyle{ -2 ^{\left| x+2 \right| } }\)

Rozwiązanie wygląda następująco z książki :

\(\displaystyle{ 2 ^{x} }\)----> wektory [-2,0] ---> wartość bezwzględna ---> Sox (tutaj mamy na samym końcu Sox)

Dlaczego nie mogę najpierw Sox potem wektory a na samym końcu wartość bezwzględną ?

Oczywiście wartość bezwzględna jest w argumencie.

Tu akurat możesz. Napisz wzór funkcji po każdym przekształceniu w obu przypadkach to zobaczysz, że dochodzisz do tej samej funkcji końcowej. Tutaj akurat mogłeś zamienić kolejność, bo zmieniłeś miejscami przekształcenia względem różnych osi (translacja i moduł dotyczą argumentu, więc zmiana jest horyzontalna, czyli pozioma , a symetria jest zmianą wertykalną, czyli pionową). Natomiast nie możesz zmienić kolejności translacji i wartości bezwzględnej.

Albo też w tym przykładzie :

\(\displaystyle{ \left| \frac{1}{3} ^{x-2}-1 \right| }\)

Według książki :

\(\displaystyle{ \frac{1}{3} ^{x} }\) ---->wektory [2,-1]---> wartość bezwzględna

nie można a opak ?

Wybaczcie jeśli tyle przykładów to za dużo

Jak zrobisz na opak, to dostaniesz \(\displaystyle{ \left( \frac{1}{3} \right) ^{x-2}-1 }\), bo zaczniesz od nakładania wartości bezwzględnej na funkcję o wartościach dodatnich, więc ta operacja nie zmieni wykresu.

Nie ma żadnego powodu, by te przekształcenia były przemienne (choć czasami są).

JK