Podłoga, sufit, część ułamkowa

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Rafcio_srubka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 paź 2019, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 11 razy

Podłoga, sufit, część ułamkowa

Post autor: Rafcio_srubka » 14 paź 2019, o 22:04

Witam,
potrzebuje pomocy w poniższym zadaniu.

Treść:
Podać najmniejszą liczbę całkowitą dodatnią \(\displaystyle{ m \neq 48 }\) taką, że \(\displaystyle{ \lbrace {\log_{2}m} \rbrace= \lbrace {\log_{2}48} \rbrace}\), gdzie \(\displaystyle{ \lbrace x \rbrace }\) oznacza część ułamkową liczby \(\displaystyle{ x}\).

Wiem, że:
\(\displaystyle{ \lbrace x \rbrace = x -\lfloor x \rfloor }\)
oraz
\(\displaystyle{ \log_{2}48 \approx 5,585 }\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \lbrace \log_{2}48 \rbrace = \log_{2}48 - \lfloor \log_{2}48 \rfloor\approx 5,585 - 5 \approx 0,585}\)

Oczywiście używając excela lub innego narzędzia bez problemu mogę znaleźć szukane \(\displaystyle{ m}\). Równość zachodzi dla \(\displaystyle{ m \in \lbrace 12,24,48\rbrace }\). Jednakże wiem, że powinienem umieć te zadanie wykonać bez użycia kalkulatora, niestety nie mam pomysłu jak się za to zabrać.

Bardzo proszę o pomoc :)
Ostatnio zmieniony 14 paź 2019, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25973
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Podłoga, sufit, część ułamkowa

Post autor: Jan Kraszewski » 14 paź 2019, o 22:32

Warunek \(\displaystyle{ \{\log_{2}m\} = \{\log_{2}48\}}\) jest tożsamy z warunkiem \(\displaystyle{ \log_{2}48-\log_{2}m\in\ZZ,}\) czyli \(\displaystyle{ \log_{2}\frac{48}{m}\in\ZZ.}\) To zaś oznacza, że \(\displaystyle{ \frac{48}{m}}\) jest całkowitą potęgą dwójki. Ponieważ \(\displaystyle{ 48=2^4\cdot 3}\), więc ten warunek zachodzi dla liczb postaci \(\displaystyle{ m=3\cdot 2^k}\) dla \(\displaystyle{ k\in\NN}\). Najmniejsza taka liczba to \(\displaystyle{ m=3}\).

JK

Rafcio_srubka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 9 paź 2019, o 21:35
Płeć: Mężczyzna
wiek: 22
Podziękował: 11 razy

Re: Podłoga, sufit, część ułamkowa

Post autor: Rafcio_srubka » 15 paź 2019, o 21:45

Bardzo dziękuję za wyjaśnienie. Rozumiem, że w przypadku zmiany treści na:

"Podaj najmniejszą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x>1}\) taką, że \(\displaystyle{ \lbrace\log_{2}x \rbrace= \lbrace\log_{2}48 \rbrace}\) "

odpowiedzią byłby \(\displaystyle{ x= \frac{3}{2} }\)?

Uzasadnienie:
Mając równość \(\displaystyle{ 48= 2^z \cdot x}\), gdzie \(\displaystyle{ z \in \ZZ}\) szukam takiego \(\displaystyle{ z}\) aby \(\displaystyle{ x}\) był najmniejszą liczbą rzeczywistą większą od \(\displaystyle{ 1}\). Zatem badam np dla:
\(\displaystyle{ z=4 }\) wtedy \(\displaystyle{ x=\frac{48}{2^{4}}=3 }\)
Szukając dalej
dla \(\displaystyle{ z=5, x=\frac{48}{2^{5}}= \frac{3}{2} }\)
dla \(\displaystyle{ z=6, x=\frac{48}{2^{6}} \le 1 }\) (nie spełnia warunków zadania).
Zatem nasze szukane \(\displaystyle{ x}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{3}{2} }\). Czy rozumowanie jest poprawne?
Ostatnio zmieniony 15 paź 2019, o 21:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 25973
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4350 razy

Re: Podłoga, sufit, część ułamkowa

Post autor: Jan Kraszewski » 15 paź 2019, o 21:53

Poprawne.

JK

ODPOWIEDZ