Zbiór wartości funkcji
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Zbiór wartości funkcji
Wyznacz zbiór wartości funkcji:
\(\displaystyle{ f(x)=\log_2 \left( \frac{x^2-4}{|x|-2} \right)}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\log_2 \left( \frac{x^2-4}{|x|-2} \right)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Zbiór wartości funkcji
Jak najprościej dojść do wyniku:
\(\displaystyle{ 1 \le f(x)<2 \cup f(x)>2}\)
\(\displaystyle{ 1 \le f(x)<2 \cup f(x)>2}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Zbiór wartości funkcji
Zbadaj dziedzinę i zachowanie funkcji w niej.
Ułatwisz sobie zadanie gdy zbadasz najpierw jej parzystosc
Edit : korekta po słowniku
Ułatwisz sobie zadanie gdy zbadasz najpierw jej parzystosc
Edit : korekta po słowniku
Ostatnio zmieniony 7 sie 2019, o 13:24 przez a4karo, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Zbiór wartości funkcji
To jasne. Dalej:Premislav pisze:Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Dla \(\displaystyle{ x<-2}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) = \log _2(2-x).}\)
Dla \(\displaystyle{ x>2}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=\log (x-2).}\)
Jak uzasadnić, że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2)}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1 \le f(x)< 2}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 sie 2019, o 23:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbiór wartości funkcji
Ja myślę, że rozpisywanie tej wartości bezwzględnej niczemu nie służy (prócz zaciemniania obrazu sytuacji).
Gdy \(\displaystyle{ |x|< 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\).
i funkcja ta jest parzysta, więc wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ xin[0,2)}\), a wtedy mamy
\(\displaystyle{ 1=\log_2 2\le \log(|x|+2)=\log_2(x+2)<\log_2 4=2}\), gdyż funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\log_2 x}\) jest ściśle rosnąca (można to uznać za znany fakt, można też to oddzielnie wykazać). Ponadto jest to funkcja ciągła, więc
z tw. Darboux wiemy, że obrazem przedziału \(\displaystyle{ [2,4]}\) przez tę funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\), a więc obrazem przedziału \(\displaystyle{ [0,2)}\) przez „naszą" funkcję jest \(\displaystyle{ [1,2)}\), gdyż \(\displaystyle{ g(4)=2}\) i \(\displaystyle{ g}\) jest rosnąca.
Gdy \(\displaystyle{ |x|< 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\).
i funkcja ta jest parzysta, więc wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ xin[0,2)}\), a wtedy mamy
\(\displaystyle{ 1=\log_2 2\le \log(|x|+2)=\log_2(x+2)<\log_2 4=2}\), gdyż funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\log_2 x}\) jest ściśle rosnąca (można to uznać za znany fakt, można też to oddzielnie wykazać). Ponadto jest to funkcja ciągła, więc
z tw. Darboux wiemy, że obrazem przedziału \(\displaystyle{ [2,4]}\) przez tę funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\), a więc obrazem przedziału \(\displaystyle{ [0,2)}\) przez „naszą" funkcję jest \(\displaystyle{ [1,2)}\), gdyż \(\displaystyle{ g(4)=2}\) i \(\displaystyle{ g}\) jest rosnąca.
-
- Użytkownik
- Posty: 482
- Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 113 razy
Zbiór wartości funkcji
To zadanie z poziomu liceum, o twierdzeniu Darboux nie ma mowy.
-- 7 sie 2019, o 13:17 --
Co sądzicie o takim uzasadnieniu:
\(\displaystyle{ f(x)=\log _2(|x|+2)}\)
Rysujemy wykres: \(\displaystyle{ f(x) = (x + 2)}\) i po odbiciu prawej części względem OY usuwamy ze zbioru wartości : \(\displaystyle{ \langle 1, \infty)}\) liczby \(\displaystyle{ f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ f(-2)}\) ?
-- 7 sie 2019, o 13:17 --
Co sądzicie o takim uzasadnieniu:
\(\displaystyle{ f(x)=\log _2(|x|+2)}\)
Rysujemy wykres: \(\displaystyle{ f(x) = (x + 2)}\) i po odbiciu prawej części względem OY usuwamy ze zbioru wartości : \(\displaystyle{ \langle 1, \infty)}\) liczby \(\displaystyle{ f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ f(-2)}\) ?
Ostatnio zmieniony 7 sie 2019, o 22:56 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Zbiór wartości funkcji
Jezu, ta dziurawa podstawa programowa, nie chce mi się bawić z tą żałością. To naszkicuj wykres (są takie zadania, nawet badanie przebiegu zmienności funkcji zdaje się wróciło na rozszerzenie, i dobrze) i napisz, że z wykresu wynika. -- 7 sie 2019, o 13:26 --O, no właśnie, w tym samym momencie to pisaliśmy. Skoro nie ma tw. Darboux, to tak, takie uzasadnienie musi wystarczyć (tylko oczywiście \(\displaystyle{ f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ f(2)}\), ale to na jedno wychodzi, bo tutaj to ta sama liczba).
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Zbiór wartości funkcji
Belf pisze:To jasne. Dalej:Premislav pisze:Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Dla :\(\displaystyle{ {\red x<-2 \ f(x) = \log _2(2-x)}}\)
Dla :\(\displaystyle{ x>2 \ f(x)=\log (x-2)}\)
Jak uzasadnić,że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2) \ 1 \le f(x)< 2}\)
A to czerwone skąd się wzięło?
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Re: Zbiór wartości funkcji
To jakieś naciągane liceum.
Obecnie (rozszerzona) masz :
A) logarytmy
1. logarytm potęgi i zmiana podstawy
2. szkicuje wykresy logarytmicznej dla różnych podstaw
3. posługuje się logarytmami do opisu zjawisk fizycznych.
B) wartość bezwzględna
(najtrudniejsze) \(\displaystyle{ |x+3|+|x+5|>12}\)
Nie brałem w cudzysłów bo nie cytowałem dokładnie.
Parzystości też nie ma.
Obecnie (rozszerzona) masz :
A) logarytmy
1. logarytm potęgi i zmiana podstawy
2. szkicuje wykresy logarytmicznej dla różnych podstaw
3. posługuje się logarytmami do opisu zjawisk fizycznych.
B) wartość bezwzględna
(najtrudniejsze) \(\displaystyle{ |x+3|+|x+5|>12}\)
Nie brałem w cudzysłów bo nie cytowałem dokładnie.
Parzystości też nie ma.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Zbiór wartości funkcji
Nie musi: dla \(\displaystyle{ y in [1, 2)}\) można wziąć \(\displaystyle{ x = 2^y - 2}\) i wprost wyliczyć, że \(\displaystyle{ x}\) leży w zadanym przedziale, a ponadto \(\displaystyle{ f(x) = y}\).Premislav pisze:Skoro nie ma tw. Darboux, to tak, takie uzasadnienie musi wystarczyć
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Zbiór wartości funkcji
To niebieskie jest równie nieprawdziwe.a4karo pisze:A to czerwone skąd się wzięło?Belf pisze:To jasne. Dalej:Premislav pisze:Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.
Dla :\(\displaystyle{ {\red x<-2 \ f(x) = \log _2(2-x)}}\)
Dla :\(\displaystyle{ {\blue x>2 \ f(x)=\log (x-2)}}\)
Jak uzasadnić,że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2) \ 1 \le f(x)< 2}\)
A po co ograniczenie \(\displaystyle{ |x|< 2}\) ? MamyPremislav pisze:Gdy \(\displaystyle{ |x|< 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\).
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2\left( \frac{|x|^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2\left( \frac{(|x|-2)(|x|+2)}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\)
dla \(\displaystyle{ |x|\neq 2}\) (pytanie dotyczyło wprawdzie tego przedziału, ale sformułowanie odpowiedzi może sugerować, że poza tym przedziałem funkcja zachowuje się inaczej).
JK
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Zbiór wartości funkcji
i dlatego moja odpowiedź do niego się odnosiła. Ale dobrze, przepraszam, że cokolwiek tu pisałem.Jan Kraszewski pisze:pytanie dotyczyło wprawdzie tego przedziału