Zbiór wartości funkcji

[Belf]

Wyznacz zbiór wartości funkcji:

\(\displaystyle{ f(x)=\log_2 \left( \frac{x^2-4}{|x|-2} \right)}\)

[a4karo]

I z czym masz kłopot?

[Belf]

Jak najprościej dojść do wyniku:

\(\displaystyle{ 1 \le f(x)<2 \cup f(x)>2}\)

[a4karo]

Zbadaj dziedzinę i zachowanie funkcji w niej.

Ułatwisz sobie zadanie gdy zbadasz najpierw jej parzystosc

Edit : korekta po słowniku

[Premislav]

Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

[Belf]

Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

To jasne. Dalej:
Dla \(\displaystyle{ x<-2}\) mamy \(\displaystyle{ f(x) = \log _2(2-x).}\)
Dla \(\displaystyle{ x>2}\) mamy \(\displaystyle{ f(x)=\log (x-2).}\)
Jak uzasadnić, że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2)}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1 \le f(x)< 2}\) ?

[Premislav]

Ja myślę, że rozpisywanie tej wartości bezwzględnej niczemu nie służy (prócz zaciemniania obrazu sytuacji).
Gdy \(\displaystyle{ |x|< 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\).
i funkcja ta jest parzysta, więc wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ xin[0,2)}\), a wtedy mamy
\(\displaystyle{ 1=\log_2 2\le \log(|x|+2)=\log_2(x+2)<\log_2 4=2}\), gdyż funkcja \(\displaystyle{ g(x)=\log_2 x}\) jest ściśle rosnąca (można to uznać za znany fakt, można też to oddzielnie wykazać). Ponadto jest to funkcja ciągła, więc
z tw. Darboux wiemy, że obrazem przedziału \(\displaystyle{ [2,4]}\) przez tę funkcję \(\displaystyle{ g(x)}\) jest przedział \(\displaystyle{ [1,2]}\), a więc obrazem przedziału \(\displaystyle{ [0,2)}\) przez „naszą" funkcję jest \(\displaystyle{ [1,2)}\), gdyż \(\displaystyle{ g(4)=2}\) i \(\displaystyle{ g}\) jest rosnąca.

[Belf]

To zadanie z poziomu liceum, o twierdzeniu Darboux nie ma mowy.

-- 7 sie 2019, o 13:17 --

Co sądzicie o takim uzasadnieniu:

\(\displaystyle{ f(x)=\log _2(|x|+2)}\)

Rysujemy wykres: \(\displaystyle{ f(x) = (x + 2)}\) i po odbiciu prawej części względem OY usuwamy ze zbioru wartości : \(\displaystyle{ \langle 1, \infty)}\) liczby \(\displaystyle{ f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ f(-2)}\) ?

[Premislav]

Jezu, ta dziurawa podstawa programowa, nie chce mi się bawić z tą żałością. To naszkicuj wykres (są takie zadania, nawet badanie przebiegu zmienności funkcji zdaje się wróciło na rozszerzenie, i dobrze) i napisz, że z wykresu wynika. -- 7 sie 2019, o 13:26 --O, no właśnie, w tym samym momencie to pisaliśmy. Skoro nie ma tw. Darboux, to tak, takie uzasadnienie musi wystarczyć (tylko oczywiście \(\displaystyle{ f(-2)}\) oraz \(\displaystyle{ f(2)}\), ale to na jedno wychodzi, bo tutaj to ta sama liczba).

[Belf]

Tak, miało być oczywiście: \(\displaystyle{ f(-2) \ f(2)}\)

[a4karo]

Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

To jasne. Dalej:
Dla :\(\displaystyle{ {\red x<-2 \ f(x) = \log _2(2-x)}}\)
Dla :\(\displaystyle{ x>2 \ f(x)=\log (x-2)}\)
Jak uzasadnić,że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2) \ 1 \le f(x)< 2}\)

A to czerwone skąd się wzięło?

[piasek101]

To jakieś naciągane liceum.
Obecnie (rozszerzona) masz :
A) logarytmy
1. logarytm potęgi i zmiana podstawy
2. szkicuje wykresy logarytmicznej dla różnych podstaw
3. posługuje się logarytmami do opisu zjawisk fizycznych.
B) wartość bezwzględna
(najtrudniejsze) \(\displaystyle{ |x+3|+|x+5|>12}\)
Nie brałem w cudzysłów bo nie cytowałem dokładnie.

Parzystości też nie ma.

[Dasio11]

Skoro nie ma tw. Darboux, to tak, takie uzasadnienie musi wystarczyć

Nie musi: dla \(\displaystyle{ y in [1, 2)}\) można wziąć \(\displaystyle{ x = 2^y - 2}\) i wprost wyliczyć, że \(\displaystyle{ x}\) leży w zadanym przedziale, a ponadto \(\displaystyle{ f(x) = y}\).

[Jan Kraszewski]

Najpierw dziedzina, potem \(\displaystyle{ x^2=|x|^2}\) i wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

To jasne. Dalej:
Dla :\(\displaystyle{ {\red x<-2 \ f(x) = \log _2(2-x)}}\)
Dla :\(\displaystyle{ {\blue x>2 \ f(x)=\log (x-2)}}\)
Jak uzasadnić,że w przedziale: \(\displaystyle{ (-2,2) \ 1 \le f(x)< 2}\)

A to czerwone skąd się wzięło?

To niebieskie jest równie nieprawdziwe.

Gdy \(\displaystyle{ |x|< 2}\), to
\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\).

A po co ograniczenie \(\displaystyle{ |x|< 2}\) ? Mamy

\(\displaystyle{ \log_2\left( \frac{x^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2\left( \frac{|x|^2-4}{|x|-2}\right)=\log_2\left( \frac{(|x|-2)(|x|+2)}{|x|-2}\right)=\log_2(|x|+2)}\)

dla \(\displaystyle{ |x|\neq 2}\) (pytanie dotyczyło wprawdzie tego przedziału, ale sformułowanie odpowiedzi może sugerować, że poza tym przedziałem funkcja zachowuje się inaczej).

JK

[Premislav]

pytanie dotyczyło wprawdzie tego przedziału

i dlatego moja odpowiedź do niego się odnosiła. Ale dobrze, przepraszam, że cokolwiek tu pisałem.