Udowodnić nierównośc

[Bran]

Udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ n > 2}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \mathcal{H}_n < \ln n + 1}\)

Gdzie \(\displaystyle{ \mathcal{H}_n = 1 + \frac12 + \ldots + \frac1n}\)

Chciałbym jakoś to rozbroić - niekoniecznie określając funkcję ciągłą. Siedzę nad tym od pół godziny i nie mogę wpaść nawet na pomysł. Bardzo proszę o naprowadzenie.

[Premislav]

Ponieważ funkcja \(\displaystyle{ f(x)=\frac 1 x}\) jest malejąca w dodatnich, ciągła i dodatnia w dodatnich, więc
\(\displaystyle{ \int_{k}^{k+1}\frac{1}{x}\,\dd x>f(k+1)=\frac{1}{k+1}}\)
Dodajesz stronami takie nierówności dla
\(\displaystyle{ k=1, 2\ldots n-1}\), dużo się skraca i zostaje
\(\displaystyle{ \ln n-\ln 1> \sum_{k=2}^{n} \frac 1 k=H_n-1}\), przenosisz jedynkę i koniec.

-- 21 lip 2019, o 20:34 --

Można też bez rachunku całkowego:
z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji \(\displaystyle{ g(x)=\ln x}\) mamy
\(\displaystyle{ g(k+1)-g(k)=g'(c_k)}\) dla pewnego \(\displaystyle{ c_k\in(k,k+1)}\), czyli
\(\displaystyle{ \ln(k+1)-\ln k=\frac{1}{c_k}>\frac{1}{k+1}}\), znowu dodajemy stronami dla \(\displaystyle{ k=1, 2\ldots n-1}\), dodajemy obustronnie jedynkę i tyle.

-- 21 lip 2019, o 20:39 --

Dobra, najbardziej elementarnie:
dla dowolnego \(\displaystyle{ k\in \NN^+}\) zachodzi
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac 1 k\right)^{k+1}>e}\), gdyż ciąg
\(\displaystyle{ a_k=\left( 1+\frac 1 k\right)^{k+1}}\) jest malejący i zbieżny do \(\displaystyle{ e}\).
Logarytmujemy tę nierówność stronami i mamy
\(\displaystyle{ \ln\left( 1+\frac 1 k\right)>\frac{1}{k+1}}\)
po prostych przekształceniach. Zapisujemy \(\displaystyle{ \ln\left( 1+\frac 1 k\right)=\ln(k+1)-\ln k}\),
jak poprzednio dodajemy takie nierówności stronami dla \(\displaystyle{ k=1,2\ldots n-1}\), na koniec dodajemy obustronnie jedynkę i voila.

[Bran]

Dziękuję bardzo!

Wpadłem też na taki dowód indukcyjny:

\(\displaystyle{ 1^o}\) Dla \(\displaystyle{ n = 2}\) mamy \(\displaystyle{ \mathcal{H}_n = \frac32 < \ln 2 + 1.}\)

\(\displaystyle{ 2^o}\) Załóżmy, że dla dowolnie ustalonego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \mathcal{H}_n < \ln n + 1.}\)

Zauważmy, że \(\displaystyle{ \ln(n+1)-\ln n = \ln n \left(1+ \frac{1}{n}\right)}\) i ze znanej nierówności \(\displaystyle{ \frac{x}{1+x} \le \ln (1+x) \le x, x > -1}\) dostajemy \(\displaystyle{ \ln \left(1 + \frac{1}{n}\right) > \frac{\frac{1}{n}}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{n+1},}\) więc mamy:

\(\displaystyle{ \ln \left(n+1\right) + 1 > \ln n + \frac{1}{n+1} + 1 > \mathcal{H}_n + \frac{1}{n+1} = \mathcal{H}_{n+1},}\)
co było do wykazania.

Jest w porządku?

[Premislav]

Tak, jest OK.