Matematyka.pl

Zbadaj liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\).
\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0}\).
Zał:
\(\displaystyle{ x-2>0}\) więc \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ x-m \ge 0}\) więc \(\displaystyle{ x \ge m}\)
1) \(\displaystyle{ m \le 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)
2) \(\displaystyle{ m > 2}\) Wówczas: \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Po przyrównaniu do zera pierwszego czynnika \(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2)}\)
otrzymujemy \(\displaystyle{ x=11}\).
W związku z tym, że pierwszy czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x=11}\) badamy ilość rozwiązań dla\(\displaystyle{ m}\) należącego do następujących przedziałów:
a) \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\)
b) \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\)
c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\)

ad a)
\(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{x-m} =0}\)
\(\displaystyle{ x=m}\) i \(\displaystyle{ x \in (2, \infty )}\) więc \(\displaystyle{ m}\) nie rozwiązuje tego równania. Jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\).

ad b)\(\displaystyle{ m \in (2,11)}\)Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)
Rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ x =11}\) i \(\displaystyle{ x=m}\)

ad c) \(\displaystyle{ m \in \langle 11 , \infty )}\) Wówczas z założeń wynika, że \(\displaystyle{ x \in \langle m, \infty )}\)

c') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m=11}\)
Pierwszy i drugi czynnik zeruje się dla \(\displaystyle{ x= 11}\). Czyli mamy jedno rozwiązanie.

c'') rozpatrzmy równanie dla \(\displaystyle{ m \in (11, \infty )}\)
Wówczas rozwiązaniem jest tylko \(\displaystyle{ x=m}\).

Reasumując dla \(\displaystyle{ m \in ( - \infty ,2 \rangle \cup \langle 11 , \infty )}\) mamy jedno rozwiązanie, a dla \(\displaystyle{ m \in ( 2 ,11 )}\) mamy dwa rozwiązania.

Czy moje rozwiązanie jest poprawne i czy da się je zapisać prościej?

Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń ma być zerem, to wystarczy, że króreś z tych wyrażeń jest zerem. Zapiszmy więc

\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{3}(x-2) - 2=0 \vee \sqrt{x-m}=0}\)

Dziedziną, jak widać, jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 2}\)

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2=0 \quad \Rightarrow x-2=9 \quad \text{zatem} \quad x=7}\) i wtedy parametr \(\displaystyle{ m \le 7}\)

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2>0 \quad \Rightarrow \quad x>7 \ \wedge \ m=x}\)

Dilectus pisze:Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń ma być zerem, to wystarczy, że króreś z tych wyrażeń jest zerem. Zapiszmy więc

\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{3}(x-2) - 2=0 \vee \sqrt{x-m}=0}\)

Dziedziną, jak widać, jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 2}\)

Na to musisz koniecznie popatrzeć jeszcze raz

-- 13 maja 2019, o 06:10 --

Dilectus pisze:Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń ma być zerem, to wystarczy, że króreś z tych wyrażeń jest zerem. Zapiszmy więc

\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{3}(x-2) - 2=0 \vee \sqrt{x-m}=0}\)

Dziedziną, jak widać, jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 2}\)

Popatrz na to jeszcze raz

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2=0 \quad \Rightarrow {\red x-2=9 \quad \text{zatem} \quad x=7}}\) i wtedy parametr \(\displaystyle{ m \le 7}\)

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2>0 \quad \Rightarrow \quad x>7 \ \wedge \ m=x}\)

I na to też

a4karo, dziękuję. Człowiek na starość przestaje umieć rachować do dwudziestu... Chyba - zamiast matematyką - zajmę się szydełkowaniem, albo robótkami na drutach, a tymczasem poprawiam mój ohydny, wołający o pomstę do nieba błąd:

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2=0 \quad \Rightarrow \quad {\blue x-2=9 \quad \text{zatem} \quad x=11}}\)

Dilectus pisze:Jeśli iloczyn dwóch wyrażeń ma być zerem, to wystarczy, że króreś z tych wyrażeń jest zerem. Zapiszmy więc

\(\displaystyle{ (\log _{3}(x-2) - 2) \cdot \sqrt{x-m} =0 \quad \Leftrightarrow \quad \log _{3}(x-2) - 2=0 \vee \sqrt{x-m}=0}\)

Dziedziną, jak widać, jest zbiór liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 2}\). Pamiętajmy też, że \(\displaystyle{ x \ge m}\)

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2=0 \quad \Rightarrow x-2=9 \quad \text{zatem} \quad x=11}\) i wtedy parametr \(\displaystyle{ m \le 11}\)

\(\displaystyle{ \log _{3}(x-2) - 2>0 \quad \Rightarrow \quad x>11 \ \wedge \ m=x}\)

Dziedzina jest polprosta \(\displaystyle{ [\max(2,m),\infty)}\)