udowodnić nierówność

[Rozbitek]

\(\displaystyle{ e^t > et}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in (1, 2]}\)

Wydaje się oczywiste, ale jak przyszło do wykazania to jest problem.

[Premislav]

Podzielmy stronami przez \(\displaystyle{ e}\), a otrzymamy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ e^{t-1}>t}\),
ale w dodatnich mamy \(\displaystyle{ e^x>1+x}\) (znane, można to udowodnić z pochodnych albo korzystając z monotoniczności \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n}\) i z nierówności Bernoulliego), toteż
\(\displaystyle{ e^{t-1}>1+(t-1)=t}\) dla \(\displaystyle{ t>1}\).

[Rozbitek]

Premislav, dziękuję. A mógłbyś jeszcze podpowiedzieć jak udowodnić tą drugą własność? Jestem ciekawy tej metody z \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n}\).

[Premislav]

Dość znanym faktem (nauczanym na analizie I, a czasami przyjmowanym jako definicja \(\displaystyle{ e^x}\)) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty}\left( 1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x>0}\), wtedy ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac{x}{n}\right)^n}\) jest rosnący. Istotnie, z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n+1}} =\left( 1+\frac{x}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}> 1+\frac x {n+1}\cdot \frac{n+1}{n}=\left( 1+\frac x n\right)=\sqrt[n]{a_n}}\)
Podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i koniec.
W szczególności więc \(\displaystyle{ e^x>a_1=1+x}\).

[a4karo]

ALbo tak: funkcja \(\displaystyle{ e^t}\) jest wypukła, a jej prosta podpierająca (lub styczna, jeżeli wolisz) w punkcie \(\displaystyle{ t=1}\) ma równanie \(\displaystyle{ e(t-1)+e=et}\). Stąd teza.

[Rozbitek]

a4karo, a czy to nie dowodzi raczej, że \(\displaystyle{ e^t \ge et}\)?
Mącąc trochę w dziedzinie?

Nie, że się czepiam, absolutnie - chcę tylko się upewnić czy dobrze rozumuję.

[a4karo]

No dowodzi, ale zastanów się kiedy jest równość?

[Dilectus]

Rozbitek, popatrz na nierówność \(\displaystyle{ e^{t-1}>t}\) i narysuj obie jej strony na jednym wykresie, czyli:

\(\displaystyle{ f(t)=e^{t-1}}\)

\(\displaystyle{ g(t)=t}\)

Zobaczysz, że \(\displaystyle{ f(t)=g(t)}\) dla \(\displaystyle{ t=1}\), a poza tym punktem funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)}\) jest większa od funkcji liniowej \(\displaystyle{ g(x)}\)