udowodnić nierówność

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

udowodnić nierówność

Post autor: Rozbitek » 16 kwie 2019, o 17:13

\(\displaystyle{ e^t > et}\), gdzie \(\displaystyle{ t \in (1, 2]}\)

Wydaje się oczywiste, ale jak przyszło do wykazania to jest problem.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14512
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: Premislav » 16 kwie 2019, o 17:17

Podzielmy stronami przez \(\displaystyle{ e}\), a otrzymamy równoważną nierówność:
\(\displaystyle{ e^{t-1}>t}\),
ale w dodatnich mamy \(\displaystyle{ e^x>1+x}\) (znane, można to udowodnić z pochodnych albo korzystając z monotoniczności \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n}\) i z nierówności Bernoulliego), toteż
\(\displaystyle{ e^{t-1}>1+(t-1)=t}\) dla \(\displaystyle{ t>1}\).

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: Rozbitek » 16 kwie 2019, o 17:38

Premislav, dziękuję. A mógłbyś jeszcze podpowiedzieć jak udowodnić tą drugą własność? Jestem ciekawy tej metody z \(\displaystyle{ \left( 1+\frac x n\right)^n}\).

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14512
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 4780 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: Premislav » 16 kwie 2019, o 17:43

Dość znanym faktem (nauczanym na analizie I, a czasami przyjmowanym jako definicja \(\displaystyle{ e^x}\)) jest \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty}\left( 1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x}\)
Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ x>0}\), wtedy ciąg
\(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac{x}{n}\right)^n}\) jest rosnący. Istotnie, z nierówności Bernoulliego:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{a_{n+1}} =\left( 1+\frac{x}{n+1}\right)^{\frac{n+1}{n}}> 1+\frac x {n+1}\cdot \frac{n+1}{n}=\left( 1+\frac x n\right)=\sqrt[n]{a_n}}\)
Podnosimy stronami do potęgi \(\displaystyle{ n\in \NN^+}\) i koniec.
W szczególności więc \(\displaystyle{ e^x>a_1=1+x}\).

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17529
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2955 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: a4karo » 16 kwie 2019, o 18:37

ALbo tak: funkcja \(\displaystyle{ e^t}\) jest wypukła, a jej prosta podpierająca (lub styczna, jeżeli wolisz) w punkcie \(\displaystyle{ t=1}\) ma równanie \(\displaystyle{ e(t-1)+e=et}\). Stąd teza.

Rozbitek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 486
Rejestracja: 22 lut 2017, o 14:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 114 razy
Pomógł: 8 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: Rozbitek » 17 kwie 2019, o 19:04

a4karo, a czy to nie dowodzi raczej, że \(\displaystyle{ e^t \ge et}\)?
Mącąc trochę w dziedzinie?

Nie, że się czepiam, absolutnie - chcę tylko się upewnić czy dobrze rozumuję.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17529
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2955 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: a4karo » 17 kwie 2019, o 20:53

No dowodzi, ale zastanów się kiedy jest równość?

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2522
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 355 razy

Re: udowodnić nierówność

Post autor: Dilectus » 18 kwie 2019, o 09:20

Rozbitek, popatrz na nierówność \(\displaystyle{ e^{t-1}>t}\) i narysuj obie jej strony na jednym wykresie, czyli:

\(\displaystyle{ f(t)=e^{t-1}}\)

\(\displaystyle{ g(t)=t}\)

Zobaczysz, że \(\displaystyle{ f(t)=g(t)}\) dla \(\displaystyle{ t=1}\), a poza tym punktem funkcja wykładnicza \(\displaystyle{ f(x)}\) jest większa od funkcji liniowej \(\displaystyle{ g(x)}\)


ODPOWIEDZ