Oblicz wartość logarytmu

[las484]

Oblicz \(\displaystyle{ \log _{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \frac{b}{a}}\) jeśli \(\displaystyle{ a= \frac{ \log ^3 _{6}4+\log ^3 _{6}9 }{ \log ^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log ^3 _{6}3 }, \ \ b=\log ^2 _{ \frac{3}{7} } 21-\log _{ \frac{3}{7} }81 \cdot \log _{ \frac{3}{7} }7}\)

[Dilectus]

Oblicz \(\displaystyle{ \log _{ \frac{ \sqrt{2} }{2} } \frac{b}{a}}\)

jeśli

\(\displaystyle{ a= \frac{ \log^3 _{6}4+\log^3 _{6}9 }{ \log^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log^3 _{6}3 }}\)

\(\displaystyle{ b=\log^2 _{ \frac{3}{7} } 21-\log _{ \frac{3}{7} }81 \cdot \log _{ \frac{3}{7} }7}\)

Co do tej pory zrobiłeś?

Zacznij od rozwiązania \(\displaystyle{ a}\) - wszystkie logarytmy są o tej samej podstawie, więc łatwo pójdzie. Wiesz przecież, co to jest suma i różnica logarytmów o tej samej podstawie. Podobnie policz \(\displaystyle{ b}\).
Pokaż, co zrobiłeś, to będziemy wiedzieć, o czym mówić.

Jeśli czegoś nie wiesz, looknij np. tu:

[las484]

Te wzory znam ale nie wiem jak sobie poradzić gdy logarytmy są do kwadratu

[Premislav]

Może pokażę, jak można uprościć \(\displaystyle{ a}\), dalej pomyśl sam. Podejrzewam, że w treści jest błąd i miało być \(\displaystyle{ a= \frac{ \log^3 _{6}4+\log^3 _{6}9 }{ \log^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log^{\red 2} _{6}3 }}\), w przeciwnym razie ch*** wafla. Dalej przyjmę taką wersję, by to się dało policzyć, czyli jak napisałem.

Ponieważ dla \(\displaystyle{ a,b>0, \ a\neq 1, \ c\in \RR}\) jest \(\displaystyle{ \log_a\left( b^c\right) =c\log_a b}\), więc \(\displaystyle{ \log_6 4=2\log_6 2}\) oraz \(\displaystyle{ \log_6 9=2\log_6 3}\), czyli
\(\displaystyle{ \frac{ \log^3 _{6}4+\log^3 _{6}9 }{ \log^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log^2 _{6}3 }=\\=8 \cdot \frac{ \log^3 _{6}2+\log^3 _{6}3 }{ \log^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log^2 _{6}3 }}\)
Teraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów: \(\displaystyle{ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)}\) dla \(\displaystyle{ x=\log_6 2, \ y=\log_6 3}\), skracamy czynnik \(\displaystyle{ x^2-xy+y^2}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ 8 \cdot \frac{ \log^3 _{6}2+\log^3 _{6}3 }{ \log^2 _{6} 2-\log _{6} 3+\log^2 _{6}3 }=\\=8\left(\log_6 2+\log_6 3)=8\log_6 6=8}\)

-- 7 kwi 2019, o 14:12 --

O rany, dostałem za to „pomógł", a coś tu naknociłem, bo za bardzo mi się ten mianownik skojarzył, taki ze mnie stary perwers. Mea culpa! Jeżeli przykład miałby jeszcze jedną różnicę w zapisie \(\displaystyle{ a}\) (w mianowniku \(\displaystyle{ -{\red \log_6 2}\log_6 3}\)), to wiedziałbym, co z tym zrobić, a tak, to nie wiem, za ładnie wychodziło i napisałem jak leci. Jeśli to nie błąd w przepisywaniu, to rzeczone zadanie jest dla mnie za trudne. Niby nic szokującego, bo żaden ze mnie spec, ale jestem lekko zaskoczony, gdyż nie zdarza się to często w odniesieniu do zadań szkolnych. Sprawdź może, czy dobrze przepisane, jak tak, to nic tu nie dam rady zdziałać.

[Kfadrat]

Mogę znać źródło tego zadania?

[las484]

Kolega dostał na prace domową nie wiem czy to ze zbioru czy nauczycielka sobie sama wymyśliła, ale dzięki za wyjaśnienie Premislav,