Nierówność dwóch liczb o sumie równej 1

[Ogorek00]

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) o sumie równej jeden, spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ p_{1} \cdot \log \frac{1}{p_{1} } + p_{2} \cdot \log \frac{1}{p_{2}} \le \log 2}\)

[MrCommando]

Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\log t}\) określona dla liczb dodatnich jest wklęsła, gdyż \(\displaystyle{ f''(t)=-\frac{1}{t^2\ln 10}<0}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Zatem z nierówności Jensena dla argumentów \(\displaystyle{ \frac{1}{p_1}, \frac{1}{p_2}}\) i wag równych odpowiednio \(\displaystyle{ p_1, p_2}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ p_1\log \frac{1}{p_1}+p_2\log \frac{1}{p_2} \leq \log\left(p_1\cdot \frac{1}{p_1}+p_2\cdot \frac{1}{p_2}\right)=\log 2}\),

czyli to o co nam chodziło.

[Premislav]

A jak ktoś nie zna nierówności Jensena (choć warto wtedy poznać), to z użyciem najprostszego rachunku różniczkowego można udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ x\ln \left( \frac 1 x\right) \le 1-x}\) i dodać stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ p_1, \ p_2}\)