Nierówność dwóch liczb o sumie równej 1
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 2 sty 2017, o 19:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 42 razy
Nierówność dwóch liczb o sumie równej 1
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb \(\displaystyle{ p_{1}}\) i \(\displaystyle{ p_{2}}\) o sumie równej jeden, spełniona jest nierówność \(\displaystyle{ p_{1} \cdot \log \frac{1}{p_{1} } + p_{2} \cdot \log \frac{1}{p_{2}} \le \log 2}\)
Ostatnio zmieniony 2 kwie 2019, o 22:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
- MrCommando
- Użytkownik
- Posty: 554
- Rejestracja: 5 gru 2016, o 21:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock/MiNI PW
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 107 razy
Nierówność dwóch liczb o sumie równej 1
Funkcja \(\displaystyle{ f(t)=\log t}\) określona dla liczb dodatnich jest wklęsła, gdyż \(\displaystyle{ f''(t)=-\frac{1}{t^2\ln 10}<0}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\). Zatem z nierówności Jensena dla argumentów \(\displaystyle{ \frac{1}{p_1}, \frac{1}{p_2}}\) i wag równych odpowiednio \(\displaystyle{ p_1, p_2}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ p_1\log \frac{1}{p_1}+p_2\log \frac{1}{p_2} \leq \log\left(p_1\cdot \frac{1}{p_1}+p_2\cdot \frac{1}{p_2}\right)=\log 2}\),
czyli to o co nam chodziło.
\(\displaystyle{ p_1\log \frac{1}{p_1}+p_2\log \frac{1}{p_2} \leq \log\left(p_1\cdot \frac{1}{p_1}+p_2\cdot \frac{1}{p_2}\right)=\log 2}\),
czyli to o co nam chodziło.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Nierówność dwóch liczb o sumie równej 1
A jak ktoś nie zna nierówności Jensena (choć warto wtedy poznać), to z użyciem najprostszego rachunku różniczkowego można udowodnić, że dla dowolnego \(\displaystyle{ x>0}\) zachodzi
\(\displaystyle{ x\ln \left( \frac 1 x\right) \le 1-x}\) i dodać stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ p_1, \ p_2}\)
\(\displaystyle{ x\ln \left( \frac 1 x\right) \le 1-x}\) i dodać stronami takie nierówności dla \(\displaystyle{ p_1, \ p_2}\)