Nierówność wykładnicza

[Wiikussia]

Witam, mam problem z rozwiązaniem nierówności: \(\displaystyle{ \left(x-2\right)^{x^{2}-6x+8 }>1^{0}}\) dla \(\displaystyle{ x>2}\). Myślałam o tym, żeby rozważyć kilka przypadków, ale czy podany nawias nie musi być czasem jedynką, aby pominąć podstawy i porównać wykładniki?

[Premislav]

Rozważenie przypadków to dobry pomysł. Proponuję następujące:
Dla \(\displaystyle{ x\in (2,3)}\) masz po lewej liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (0,1)}\) podnoszoną do potęgi ujemnej.
Dla \(\displaystyle{ x\in (3,4)}\) masz liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) podnoszoną do potęgi ujemnej.
Dla \(\displaystyle{ x\ge 4}\) masz liczbę z przedziału \(\displaystyle{ (1,\infty)}\) podnoszoną do potęgi nieujemnej.
No i tam w przypadkach \(\displaystyle{ x=2, x=3}\) masz po obu stronach jedynki, więc ostra nierówność nie zajdzie.

[Dilectus]

Najpierw dziedzina: \(\displaystyle{ x>2}\)
Podstawa funkcji jest mniejsza od jeden gdy
\(\displaystyle{ x-2<1 \ \Rightarrow \ x<3}\)

Funkcja wykładnicza o podstawie mniejszej niż jeden jest większa od jeden dla argumentów ujemnych. Napiszmy to tak:

\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{a\in (0,1)} a^{k}>1 \ \Leftrightarrow \ k<0}\) (warto tu przypomnieć sobie wykres funkcji wykładniczej o podstawie spomiędzy zera i jedynki)

Wykładnik tej funkcji jest trójmianem kwadratowym \(\displaystyle{ x^{2}-6x+8}\)

Łatwo stwierdzić, że w przedziale \(\displaystyle{ (2, 4)}\) ten trójmian jest ujemny (warto go rozwiązać i naszkicować jego wykres), a więc wykładnik naszej funkcji będzie mniejszy od zera. Jeśli tak, to gdy podstawa będzie mniejsza od 1, (a więc dla \(\displaystyle{ 2<x<3}\)), to mamy sytuację podnoszenia liczby mniejszej od jeden do potęgi ujemnej, co w rezultacie daje liczbę większą od 1, a więc spełniającą naszą nierówność.

Dla \(\displaystyle{ x=3}\) mamy podstawę równą 1, a więc i funkcja w tym punkcie ma wartość jeden (bo jedynka jest niewrażliwa na potęgowanie).
No i w przedziale \(\displaystyle{ (3, 4)}\) większa od 1 podstawa podnoszona jest do potęgi ujemnej (trójmian w wykładniku jest mniejszy od zera. a liczba większa od 1 podniesiona do potęgi ujemnej jest mniejsza od 1. Czyli w tym przedziale nierówność nie jest spełniona.

Wreszcie, dla \(\displaystyle{ x>4}\) podstawa funkcji jest większa od 1 (a nawet od 2 ) i wykładnik jest większy od zera. A, jak z pewnością wiesz, funkcja wykładnicza o podstawie większej niż 1 dla wykładników nieujemnych jest większa od 1 (naszkicuj sobie w głowie wykres funkcji wykładniczej o podstawie większej niż 1), czyli spełniona jest nierówność wyjściowa.

No to skoro już tyle wiemy, to rozwiązanie tej nierówności staje się oczywiste.