Przesunięta potęga

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ \left( x+ \frac{1}{2} \right) ^x > x^{x+ \frac{1}{2} }}\)

[Premislav]

Bardzo dziwne zadanie. Mnie się przypomina kwestia z tego wątku: 434921.htm
Przyjmę, że dziedzina tych wyrażeń to maksymalny (w sensie inkluzji) podzbiór \(\displaystyle{ RR}\), dla którego te syfy mają sens liczbowy (w \(\displaystyle{ RR}\)).
Niech \(\displaystyle{ x>0}\). Zlogarytmujmy nierówność stronami i rozważmy funkcję
\(\displaystyle{ f(x)=xlnleft( x+frac 1 2
ight) -left( x+frac 1 2
ight)ln x}\). Odnotujmy, że
\(\displaystyle{ f'(x)=lnleft( x+frac 1 2
ight) +frac{x}{x+frac 1 2}-ln x-frac{x+frac 1 2 }{x}=\=lnleft( 1+frac{1}{2x}
ight) -frac{1}{2x}-frac{1}{2x+1}<0}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\), co wynika ze znanej nierówności \(\displaystyle{ ln(1+t)le t}\). Zatem funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest malejąca w dodatnich, a ponadto zapisując
\(\displaystyle{ f(x)=xlnleft( 1+frac{1}{2x}
ight) -frac 1 2ln x}\) i ponownie używając nierówności \(\displaystyle{ ln(1+t)le t}\) dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ lim_{x o +infty}f(x)=-infty}\). Co więcej, \(\displaystyle{ lim_{x o 0^+}f(x)=+infty}\). Stąd płynie wniosek, że nierówność \(\displaystyle{ f(x)>0}\) zachodzi w przedziale \(\displaystyle{ (0,x_0)}\) i nie zachodzi dla \(\displaystyle{ (x_0, +infty)}\), gdzie
\(\displaystyle{ x_0}\) jest rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ f(x)=0}\), według wolframa \(\displaystyle{ x_0approx 2,48733}\) i bardzo mocno wątpię, by \(\displaystyle{ x_0}\) wyrażało się jakkolwiek przyjemniej w jawny sposób.
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ xinleft( -frac12, 0
ight]}\) jest takie, by wyrażenia \(\displaystyle{ left( x+ frac{1}{2}
ight) ^x}\) oraz \(\displaystyle{ x^{x+ frac{1}{2} }}\) miały sens liczbowy, to nierówność zachodzi w sposób oczywisty (prawa strona jest niedodatnia), zaś dla \(\displaystyle{ x=-frac 1 2}\) nierówność nie zachodzi.
Jeśli natomiast \(\displaystyle{ x<-frac{1}{2}}\) jest takie, że te wyrażenia mają sens liczbowy, to z uwagi na fakt, że gdy \(\displaystyle{ x+frac 1 2}\) jest całkowite i parzyste, to liczby ujemnej nie można podnieść do potęgi \(\displaystyle{ x}\) i vice versa, w ujemnych \(\displaystyle{ x}\) mniejszych od \(\displaystyle{ -frac 1 2}\) i niebędących liczbami całkowitymi parzystymi wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ left( -x-frac 1 2
ight)^{-x}>(-x)^{-x-frac 1 2}}\) (dwa razy zmieniamy zwrot nierówności) i podstawieniem \(\displaystyle{ u=-x-frac 1 2}\) sprowadzamy to w dodatnich \(\displaystyle{ u}\) do nierówności
\(\displaystyle{ u^{u+frac 1 2}>left( u+frac 1 2
ight)^u}\), prawdziwej dla \(\displaystyle{ u>x_0}\), czyli \(\displaystyle{ -x-frac 1 2>x_0}\), a więc \(\displaystyle{ x<-x_0-frac 1 2}\). Ostatecznie, rozwiązania zadania to
\(\displaystyle{ left( ext{ przeklęta dziedzina } capleft( -infty, -x_0-frac 1 2
ight)
ight)cupleft( -frac 1 2, x_0
ight)}\), gdzie \(\displaystyle{ x_0}\) jest (istniejącym z Darboux) rozwiązaniem w dodatnich równania
\(\displaystyle{ left( x+ frac{1}{2}
ight) ^x = x^{x+ frac{1}{2} }, x_0approx 2,48733}\)

Panie molu, można wiedzieć, po co, do ponad dwóch tysięcy Janów Pawłów, takie zadanie?

-- 14 mar 2019, o 20:01 --

Aha, i tak źle zapisałem tę odpowiedź, np. oczywiście dla \(\displaystyle{ x=-frac 1 4}\) ta nierówność nie ma sensu, tę „przeklętą dziedzinę" trzeba przekroić z \(\displaystyle{ left(-infty, -x_0-
frac 12
ight)cup left( -frac 1 2, 0
ight)}\).