Hejka, mam taką oto nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{\sin (x)}{x} \le e ^{ \frac{-x ^{2} }{6} }}\) dla \(\displaystyle{ x \in (0, \pi )}\)
I nie mam zielonego pojęcia jak to zrobić, jak wpisywałem w Geogebre te funkcje to są praktycznie identyczne
Nierówność z funkcją wykładniczą
-
Jan Kraszewski
- Administrator
- Posty: 34296
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Nierówność z funkcją wykładniczą
Powinno być "dla \(\displaystyle{ x \in (0, \pi )}\)".Rokush pisze: dla \(\displaystyle{ x \subseteq (0, \pi )}\)
JK
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: Nierówność z funkcją wykładniczą
Nie widzę opcji ładnego rozwiązania.
Korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange'a udowadniamy, że dla \(\displaystyle{ x\in(0,\pi)}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ \sin x\le x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}\) oraz
\(\displaystyle{ e^{-\frac{x^2}{6}}\ge 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{72}-\frac{x^6}{1296}}\).
Zatem gdy \(\displaystyle{ x\in(0,\pi)}\) jest takie, ze
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\le 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{72}-\frac{x^6}{1296}}\), co można przekształcić dla \(\displaystyle{ x>0}\) do równoważnej postaci
\(\displaystyle{ x^2\le \frac{36}{5}}\), to nierówność zachodzi. Niech teraz \(\displaystyle{ x\in\left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{6}{\sqrt{5}}>\frac 5 6\pi}\), ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{5}>2,2}\) oraz \(\displaystyle{ \pi<3,2}\), więc gdy
\(\displaystyle{ x\in\left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\), to \(\displaystyle{ \sin x<\frac 1 2}\) i w związku z tym
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}<\frac{1}{2x}}\)
Pozostaje pokazać, że w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\)
zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{2x}\le e^{-\frac{x^2}{6}}}\). W tym celu przekształcamy tę ostatnią nierówność do postaci \(\displaystyle{ e^{\frac{x^2}{6}}-2x\le 0}\) i korzystamy z tego, ze funkcja \(\displaystyle{ g(x)=e^{\frac{x^2}{6}}-2x}\) jest rosnąca w rozważanym przedziale (wszak \(\displaystyle{ g'(x)=\frac{x}{3}e^{\frac{x^2}{6}}-2>\frac{2}{\sqrt{5}}e^{\frac 6 5}-2}\)) i spełnia \(\displaystyle{ g\left(\pi\right)=e^{\frac{\pi^2}{6}}-2\pi<0}\). Ta ostatnia nierówność to akurat totalny syf, ja to robiłem z \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}<\frac 7 4}\) (można ładnie to udowodnić z \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}}\))
Korzystając ze wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange'a udowadniamy, że dla \(\displaystyle{ x\in(0,\pi)}\) zachodzą nierówności \(\displaystyle{ \sin x\le x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}}\) oraz
\(\displaystyle{ e^{-\frac{x^2}{6}}\ge 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{72}-\frac{x^6}{1296}}\).
Zatem gdy \(\displaystyle{ x\in(0,\pi)}\) jest takie, ze
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}\le 1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{72}-\frac{x^6}{1296}}\), co można przekształcić dla \(\displaystyle{ x>0}\) do równoważnej postaci
\(\displaystyle{ x^2\le \frac{36}{5}}\), to nierówność zachodzi. Niech teraz \(\displaystyle{ x\in\left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ \frac{6}{\sqrt{5}}>\frac 5 6\pi}\), ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{5}>2,2}\) oraz \(\displaystyle{ \pi<3,2}\), więc gdy
\(\displaystyle{ x\in\left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\), to \(\displaystyle{ \sin x<\frac 1 2}\) i w związku z tym
\(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}<\frac{1}{2x}}\)
Pozostaje pokazać, że w przedziale \(\displaystyle{ \left( \frac{6}{\sqrt{5}}, \pi\right)}\)
zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{2x}\le e^{-\frac{x^2}{6}}}\). W tym celu przekształcamy tę ostatnią nierówność do postaci \(\displaystyle{ e^{\frac{x^2}{6}}-2x\le 0}\) i korzystamy z tego, ze funkcja \(\displaystyle{ g(x)=e^{\frac{x^2}{6}}-2x}\) jest rosnąca w rozważanym przedziale (wszak \(\displaystyle{ g'(x)=\frac{x}{3}e^{\frac{x^2}{6}}-2>\frac{2}{\sqrt{5}}e^{\frac 6 5}-2}\)) i spełnia \(\displaystyle{ g\left(\pi\right)=e^{\frac{\pi^2}{6}}-2\pi<0}\). Ta ostatnia nierówność to akurat totalny syf, ja to robiłem z \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}<\frac 7 4}\) (można ładnie to udowodnić z \(\displaystyle{ \frac{\pi^2}{6}= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}}\))