logarytmy z niewiadomymi

[Bratower]

Niech \(\displaystyle{ m, n}\) będą liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ \log m \approx 12,3, \log n\approx 15,4}\).
Ile cyfr ma w zapisie dziesiętnym iloczyn \(\displaystyle{ m\cdot n}\)?

[kerajs]

\(\displaystyle{ \log m + \log n\approx 27,7\\
\log mn\approx 27,7\\
mn \approx 10^{27,7}}\)
Liczba cyfr liczby naturalnej, dodatniej \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ \lfloor \log a\rfloor +1}\), więc liczba cyfr liczby \(\displaystyle{ mn}\) to: \(\displaystyle{ \lfloor \log 10^{27,7} \rfloor +1=27+1=28}\)

[login1977]

\(\displaystyle{ \log m + \log n\approx 27,7\\
\log mn\approx 27,7\\
mn \approx 10^{27,7}}\)
Liczba cyfr liczby naturalnej, dodatniej \(\displaystyle{ a}\) to \(\displaystyle{ \lfloor \log a\rfloor +1}\), więc liczba cyfr liczby \(\displaystyle{ mn}\) to: \(\displaystyle{ \lfloor \log 10^{27,7} \rfloor +1=27+1=28}\)

A czy liczb pierwszych których liczba cyfr jest liczbą pierwszą jest nieskończenie wiele?

[a4karo]

tak

[albanczyk123456]

a4karo, Udowodnij. W ogólności to nie jest prawda.

[a4karo]

Pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ n}\)i \(\displaystyle{ 2n}\) leży liczba pierwsza

Ustal liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i rozważ liczby
\(\displaystyle{ 1000...0}\) i \(\displaystyle{ 2000...0}\) z których każda ma \(\displaystyle{ p}\) cyfr. Liczba pierwsza leżąca między nimi ma też \(\displaystyle{ p}\) cyfr i już...

[login1977]

Pomiędzy liczbami \(\displaystyle{ n}\)i \(\displaystyle{ 2n}\) leży liczba pierwsza

Ustal liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) i rozważ liczby
\(\displaystyle{ 1000...0}\) i \(\displaystyle{ 2000...0}\) z których każda ma \(\displaystyle{ p}\) cyfr. Liczba pierwsza leżąca między nimi ma też \(\displaystyle{ p}\) cyfr i już...

Jak to się ma do tego, że wiadomo, że przerwy między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie długie?

[a4karo]

Nijak

[Janusz Tracz]

przerwy między kolejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie długie?

Przecież pytałeś o to czy jest nieskończenie wiele liczb pierwszych o tej własności, że ich liczba cyfr jest pierwsza. O dowolności przerw pomiędzy liczbami pierwszymi mówi na przykład ciąg postaci:

\(\displaystyle{ n!+2,\ n!+3,\ n!+4,...,\ n!+n}\)

może on być dowolnie długi a każdy z jego kolejnych wyrazów jest kolejną liczbą naturalną złożoną.