Rozwiąż nierówność

[Kacpi]

\(\displaystyle{ \log _{4}(x^2)-\log _{4}(x+1)\ge \log (2x)}\)

Prosiłbym o pomoc jak to rozwiązać zastanawiałem się na zastosowaniu pomocniczego \(\displaystyle{ t}\) ale wole się upewnić od prawdziwych ekspertów.

[Jan Kraszewski]

Nie podlizuj się , tylko pokaż, jak rozwiązujesz.

JK

[Kacpi]

Takie czary mi wyszły \(\displaystyle{ \log _{4}\frac{x^2}{(x+1)}-\log (2x)\ge 0}\)

Co mam zrobić dalej ?

[Richard del Ferro]

Sprawdź pochodną funkcji pomocniczej \(\displaystyle{ u}\)

[Dilectus]

Zamień podstawę logarytmu wg znanego wzoru. A jeśli go nie pamiętasz, to go sobie wyprowadź:

\(\displaystyle{ \log (2x)=y}\)

\(\displaystyle{ 10^y=2x}\)

zlogarytmuj obustronnie przy podst 4

\(\displaystyle{ y\log _{4} 10= \log _{4}2x}\)

\(\displaystyle{ y= \frac{ \log _{4}2x}{\log _{4} 10}}\)

Zatem

\(\displaystyle{ \log (2x)=\frac{ \log _{4}2x}{\log _{4} 10}}\)

I Twoja nierówność przybierze postać

\(\displaystyle{ \log _{4}(x^2)-\log _{4}(x+1)\ge \frac{1}{\log _{4} 10} \cdot \log _{4}2x}=\log _{4}(2x)^{ \frac{1}{\log _{4} 10}}}}\)

Ostatecznie

\(\displaystyle{ \log _{4}(x^2)-\log _{4}(x+1)\ge \log _{4}\left( (2x)^{ \frac{1}{\log _{4} 10}}\right) }}\)

[Jan Kraszewski]

No i rozwiązanie wypadałoby zacząć od założeń.

JK

[Dilectus]

Jan Kraszewski, to rozumie się samo przez się, więc o tym nie napisałem.

[Jan Kraszewski]

Dilectus, to nie Ty miałeś napisać, tylko Kacpi.

JK