Elegancki dowód

[XYZmat]

Witam, czy da się jakoś bardziej elegancko udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt[2018]{n} }{\ln n} \rightarrow +\infty}\) niż poprzez stwierdzenie, ze skoro \(\displaystyle{ n \ge \ln n}\), to d.d.dn również \(\displaystyle{ \sqrt[2018]{n} \ge \ln n}\)?

[Premislav]

Elegancja jest kategorią dość subiektywną, zaś ten argument, który podałaś, jest niewystarczający.


Skorzystajmy ze znanej nierówności \(\displaystyle{ \ln x<x}\):
\(\displaystyle{ n^{\frac{1}{2019}}>\ln n^{\frac{1}{2019}}\\n^{\frac{1}{2019}}>\frac{1}{2019}\ln n}\)
i stąd dla \(\displaystyle{ n>1}\):
\(\displaystyle{ \frac{1}{\ln n}>\frac{1}{2019 n^{\frac{1}{2019}}}\\\frac{n^{\frac{1}{2018}}}{\ln n}> \frac{n^{\frac{1}{2018}}}{2019 n^{\frac{1}{2019}}}}\)

-- 12 gru 2018, o 20:30 --

Dodam, że liczba \(\displaystyle{ \frac{1}{2018}}\) nie jest w żaden sposób wyróżniona: analogiczne szacowania można poczynić dla dowolnego wykładnika \(\displaystyle{ a>0}\), wtedy też
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n^a}{\ln a}=+\infty}\)

[Zahion]

ze skoro \(\displaystyle{ n \ge \ln n}\), to d.d.dn również \(\displaystyle{ \sqrt[2018]{n} \ge \ln n}\)?

Warto zwrócić uwagę, że jest to po prostu błędne wnioskowanie.
Po pierwsze nie wiadomo skąd miałoby wynikać to przejście, jest ono nieuzasadnione, ponadto nawet jeżeli sama nierówność byłaby uzasadniona, to przecież z faktu, że \(\displaystyle{ \ln n + 1 \ge \ln n}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ \frac{ \ln n + 1}{ \ln n} \rightarrow \infty}\) dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)