Funkcja odwrotna

[ScriptNewbie]

Witam,
Jak zbadać różnowartościowość \(\displaystyle{ f(x) = e^{x}-e^{-x}}\)
Można prosić o wyjaśnienia krok po kroku.

[janusz47]

Z określenia różnowartościowości funkcji.

[Premislav]

To nie jest takie trudne.
\(\displaystyle{ y=e^x-e^{-x}}\)
Połóżmy \(\displaystyle{ t=e^{x}}\) (oczywiście wówczas \(\displaystyle{ t>0}\)), wtedy mamy
\(\displaystyle{ y=t-\frac 1 t\\ty=t^2-1\\t^2-ty-1=0}\)
Traktujemy to równanie jak równanie kwadratowe zmiennej \(\displaystyle{ t}\) z parametrem \(\displaystyle{ y}\).
\(\displaystyle{ \Delta=y^2+4\\ t_1= \frac{y-\sqrt{y^2+4}}{2}, \ t_2=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}}\)
Pierwszą możliwość odrzucamy, gdyż w rzeczywistych jest:
\(\displaystyle{ y<\sqrt{y^2+4}}\), tj.
\(\displaystyle{ t=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}\\e^x=\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2}\\ x=\ln\left(\frac{y+\sqrt{y^2+4}}{2} \right)}\)
Zamieniamy teraz po prostu \(\displaystyle{ y}\) na \(\displaystyle{ x}\) i funkcją odwrotną do \(\displaystyle{ e^x-e^{-x}}\)
jest \(\displaystyle{ g(x)=\ln\left(\frac{x+\sqrt{x^2+4}}{2} \right)}\). Tyle.

Ej, rukwa nać, kiedy zaczynałem pisać, w temacie pytałeś o coś innego. :c
Można policzyć pochodną i zauważyć, że jest ona zawsze dodatnia, więc funkcja jest rosnąca, czyli jest różnowartościowa.

[ScriptNewbie]

Wiem, sorki ogarnąłem już temat wyznaczania funkcji odwrotnej dlatego zmieniłem i nie chciałem robić nowego tematu. Całki niestety nie policzę - jeszcze tego nie miałem. Jakieś inne pomysły.

Dziękuję za pomoc i pozdrawiam.

[Premislav]

Ta całka nie ma nic wspólnego z zadaniem, tylko jest częścią mojego podpisu na forum.
A pochodne umiesz (wystarczy zróżniczkować \(\displaystyle{ e^x-e^{-x}}\) i wyciągnąć wnioski)? Jak nie, to można tak:
\(\displaystyle{ e^{x}-e^{-x}=e^{y}-e^{-y} \Leftrightarrow e^{2x+y}-e^y=e^{2y+x}-e^x \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow e^{x+y}(e^x-e^y)+(e^x-e^y)=0 \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow (e^x-e^y)(e^{x+y}+1)=0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow e^x=e^y\vee e^{x+y}=-1}\)
i z tym już powinieneś sobie poradzić.

[ScriptNewbie]

Super. Dzięki za pomoc.

[janusz47]

Z określenia różnowartościowości funkcji:

\(\displaystyle{ \left[ \bigwedge x_{1}\neq x_{2}\in \RR \right] \rightarrow \left[\frac{e^{2x_{1}} -1}{e^{x_{1}}}-\frac{e^{2x_{2}}-1}{e^{x_{2}}} \neq 0\right]}\)

Zajmiemy się poprzednikiem implikacji:

\(\displaystyle{ \frac{e^{2x_{1}}e^{x_{2}}- e^{x_{2}}- e^{2x_{2}}e^{x_{1}}+ e^{x_{1}}}{e^{x_{1}+x_{2}}} \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{e^{x_{1}+x_{2}}\left( e^{x_{1}}- e^{x_{2}}\right) +(e^{x_{1}}-e^{x_{2}})}{e^{x_{1}+x_{2}}} \neq 0}\)

\(\displaystyle{ \frac{(e^{x_{1}} -e^{x_{2}})(e^{x_{1}+x_{2}} +1)}{e^{x_{1}+x_{2}}} \neq 0 \ \ (1)}\)

Następnik implikacji (1) dla poprzednika \(\displaystyle{ x_{1}\neq x_{2}}\) jest prawdziwy - funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją różnowartościową.

[Jan Kraszewski]

Zajmiemy się poprzednikiem implikacji:

Raczej następnikiem.

JK