Kilka równań wykładniczych - liceum.

[Wojciech Szlosek]

Mam mały problem z kilkoma równaniami wykładniczymi.
Rozwiąż równanie:
a) \(\displaystyle{ \left( \sqrt{3-2 \sqrt{2} } \right) ^{x} + \left( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } \right) ^{x} = 6}\)
b) \(\displaystyle{ 3\cdot4^{x}+4\cdot6^{x}-4\cdot 9^{x} = 0}\)
c) \(\displaystyle{ 2 ^{\cos x}\cdot\left( \sqrt{2} \right) ^{\cos x}\cdot\left( \sqrt[4]{2} \right) ^{\cos x}\cdot\left( \sqrt[8]{2} \right) ^{\cos x}\cdot ... = 2}\)

[Janusz Tracz]

a) podstaw pomocnicza zmienną \(\displaystyle{ t=\left( \sqrt{3+2 \sqrt{2} } \right) ^{x}}\) oraz zauważ że liczby \(\displaystyle{ \sqrt{3-2 \sqrt{2} }}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{3+2 \sqrt{2} }}\) są odwrotne. Skończysz z równaniem kwadratowym

b) podziel przez \(\displaystyle{ 6^x}\) i podstaw \(\displaystyle{ t=\left( \frac{2}{3} \right)^x}\) tu też analogicznie postępując dostaniesz równanie kwadratowe.

c) Zapisz to jako

\(\displaystyle{ 2^{\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{4}+... \right) \cos x}=2}\)

teraz korzystając z różnowartościowi oraz sumy ciągu geometrycznego mamy że

\(\displaystyle{ 2\cos x=1}\)

a to już łatwo rozwiązać.