Nierówność logarytmiczna z ciągiem

[krotka]

Nierówność wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \log _{ \frac{1}{2}} \left( x+1\right)+ \log ^2_{ \frac{1}{2}} \left( x+1\right) + \log ^3_{ \frac{1}{2}} \left( x+1\right) +... >1}\)

Napisałam załozenie, że \(\displaystyle{ x>-1}\)
Następnie lewa strona to ciag gdzie
\(\displaystyle{ a _{1} = \log _{ \frac{1}{2}} \left( x+1\right)}\)
Oraz
\(\displaystyle{ q= \log _{ \frac{1}{2}} \left( x+1\right)}\).
Następnie wyznaczyłam dla jakiego \(\displaystyle{ q}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\) i następnie dla takich \(\displaystyle{ x}\) obliczyłam sumę i wszystko wyszło ok. Moje pytanie brzmi: co dla pozostałych \(\displaystyle{ x}\)? Czyli dla tych które należą do dziedziny ale nie spełniają nierówności
\(\displaystyle{ \left| q\right|<1}\)?

[a4karo]

Szereg nie jest dla nich zbieżny, więc wyrażenie po lewej stronie nie ma sensu

[krotka]

Dziękuję Jak pokazać brak zbieżności?

[a4karo]

A znasz teorie szeregów? To jeden z podstawowych faktów : jeżeli szereg jest zbiezny to jego wyrazy dążą do zera

[krotka]

A coś kiedyś się o uszy obiło o teorii szeregów...
Dzięki za pomoc

[kerajs]

Szereg nie jest dla nich zbieżny, więc wyrażenie po lewej stronie nie ma sensu

Także dla \(\displaystyle{ q \ge 1}\)?
Przecież wtedy dostaje się prawdziwą nierówność: \(\displaystyle{ \infty >1}\)

[Jan Kraszewski]

Przecież wtedy dostaje się prawdziwą nierówność: \(\displaystyle{ \infty >1}\)

A co znaczy ten magiczny napis? Nieskończoność, którą oznaczasz symbolem \(\displaystyle{ \infty}\) nie jest bytem, to nieskończoność potencjalna, nie może więc być porównywana z czymkolwiek.

JK

[kerajs]

Przecież wtedy dostaje się prawdziwą nierówność: \(\displaystyle{ \infty >1}\)

A co znaczy ten magiczny napis? Nieskończoność, którą oznaczasz symbolem \(\displaystyle{ \infty}\) nie jest bytem, to nieskończoność potencjalna, nie może więc być porównywana z czymkolwiek.
JK

Magiczny zapis znaczy:
Niewyobrażalnie dużo to więcej niż jeden .
To dziwne, skoro coś może być \(\displaystyle{ = \infty}\) to dlaczego nie może być \(\displaystyle{ < \infty}\) .
Cóż, nie pierwszy raz wykazałem się tu ignorancją. Chętnie zobaczę poprawny zapis.

Ale to tylko szczegół właściwego pytania. Dlaczego odrzuca się (dlaczego ,,nie mają sensu') rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ 1+1+1+....>1 \\
2+2+2+...>1\\
(k+k+k+....>1) \wedge (k \ge 1)}\)
(Jeśli i te zapisy są niepoprawne to jaki zapis jest poprawny?)

[a4karo]

serious mode=off

Ależ to nie jest prawda, że \(\displaystyle{ 1+1+1+\dots>1}\). Ze wzoru na sume \(\displaystyle{ 1+q+q^2+\dots=\frac{1}{1-q}}\) wynika, że
\(\displaystyle{ 1+1+1+\dots<1+2+4+8+\dots=\frac{1}{1-2}=-1}\)

serious mode=on
Zabawy z rozbieżnymi szeregami są zawsze niebezpieczne.

[Jan Kraszewski]

Magiczny zapis znaczy:
Niewyobrażalnie dużo to więcej niż jeden .

A co to jest "niewyobrażalnie dużo"?

To dziwne, skoro coś może być \(\displaystyle{ = \infty}\)

Ależ nie może być. Zapisy "\(\displaystyle{ \mbox{coś}=\infty}\)" NIE OZNACZAJĄ równości dwóch bytów, tylko są wygodnym skrótem dla zapisu pewnych własności.

Chętnie zobaczę poprawny zapis.

Zapis czego?

Ale to tylko szczegół właściwego pytania. Dlaczego odrzuca się (dlaczego ,,nie mają sensu') rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ 1+1+1+....>1 \\
2+2+2+...>1\\
(k+k+k+....>1) \wedge (k \ge 1)}\)
(Jeśli i te zapisy są niepoprawne to jaki zapis jest poprawny?)

Oczywiście, że te zapisy są niepoprawne, bo lewe strony tych nierówności nic nie oznaczają. Wytłumaczenie jest proste: wpadasz w pułapkę wielokropka. Wielokropek nie jest symbolem matematycznym i potrafi wpuścić w maliny. Napisz proszę te zapisy bez "kropeczek".

JK

[kerajs]

Aby nie pogubić wątków ponumeruję je.

1.
Wciąż pozostaje bez odpowiedzi moje pytanie:
Dlaczego odrzucane są rozwiązania przy których lewa strona jest sumą dążącą do nieskończoności ?

2.

Magiczny zapis znaczy:
Niewyobrażalnie dużo to więcej niż jeden .

A co to jest "niewyobrażalnie dużo"?

To wygodny synonim nieskończoności.

3.

To dziwne, skoro coś może być \(\displaystyle{ = \infty}\)

Ależ nie może być. Zapisy "\(\displaystyle{ \mbox{coś}=\infty}\)" NIE OZNACZAJĄ równości dwóch bytów, tylko są wygodnym skrótem dla zapisu pewnych własności.

Czyli podobnie jak w zapisie: \(\displaystyle{ \infty >1}\)
4.

Chętnie zobaczę poprawny zapis.

Zapis czego?

Zapis nierówności \(\displaystyle{ \infty >1}\), który Pan zanegował.

5.

Ale to tylko szczegół właściwego pytania. Dlaczego odrzuca się (dlaczego ,,nie mają sensu') rozwiązania typu:
\(\displaystyle{ 1+1+1+....>1 \\
2+2+2+...>1\\
(k+k+k+....>1) \wedge (k \ge 1)}\)
(Jeśli i te zapisy są niepoprawne to jaki zapis jest poprawny?)

Oczywiście, że te zapisy są niepoprawne, bo lewe strony tych nierówności nic nie oznaczają. Wytłumaczenie jest proste: wpadasz w pułapkę wielokropka. Wielokropek nie jest symbolem matematycznym i potrafi wpuścić w maliny. Napisz proszę te zapisy bez "kropeczek".

Jakoś nikt nie neguje takiego zapisu w zbiorach zadań.
Zapis bez ,,kropeczek'
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }1>1\\
\sum_{i=1}^{ \infty }2^i>1\\
\lim_{ n\to \infty } 2n>1\\
( \frac{k(1-k ^{ \infty } )}{1-k} >1) \wedge (k \ge 1)}\)

[a4karo]

Żeby używać symboli należy je najpierw zdefiniować.

\(\displaystyle{ a_1+a_2+\dots= \sum_{n=1}^\infty a_n}\) jest szeregiem liczbowym o wyrazach równych \(\displaystyle{ a_n}\). Jednak pojęcia SZEREG i SUMA SZEREGU to dwa osobne pojęcia (oznaczane tym samym symbolem). O ile pierwszy z nich istnieje, to drugi nie musi.

W zapisie \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }1>1}\), aby miał jakikolwiek sens, lewa strona musi oznaczać SUMĘ szeregu, a w tym przypadku ta suma nie istnieje.

Często stosowany przy szeregach i granicach zapis \(\displaystyle{ \sum a_n<\infty}\) jest tylko i wyłącznie skrótem myślowym dla stwierdzenia "suma szeregu \(\displaystyle{ a_n}\) istnieje (a tym samym jest skończona)". Podobnie zapis \(\displaystyle{ \lim a_n=\infty}\) oznacza, że wyrazy ciągu stają sie dowolnie duże.

Wyrażenia o których piszesz nie maja zatem sensu, bo lewe strony nie istnieją.

Termin "niewyobrażalnie dużo" jest raczej mało matematyczny, a jeżeli (w co nie wątpię) zetknąłeś się z teorią mnogości to zgodzisz się, że wyobraźnia jest na tyle rozciągliwa, że tego typu "niewyobrażalność" jest w stanie sobie łatwo wyobrazić.

[piasek101]

Też jestem ciekawy :
a) czy nierówność jest spełniona gdy ten logarytm jest równy 1 ?

b) .............................................................................................3 ?

itp.

Co do ,,wielokropka" podobno nie jest matematyczny, ale wielokrotnie jest na matmie używany,
a jego interpretacja (może tylko moja) - (tu) lewa strona się nie kończy i jest tam coś (,,pod wielokropkiem") wynikającego z tego co napisaliśmy na jej początku.

[Jan Kraszewski]

Też jestem ciekawy :
a) czy nierówność jest spełniona gdy ten logarytm jest równy 1 ?

b) .............................................................................................3 ?

Odpowiedź już była - wtedy nie ma żadnej nierówności. Bo żeby można było pytać o prawdziwość nierówności, to musisz mieć NAJPIERW dwie dobrze zdefiniowane liczby, a dopiero POTEM możesz zadać pytanie o nierówność pomiędzy nimi. Tutaj pierwszy warunek nie jest spełniony.

To jest tak, jak pytanie, czy nierówność \(\displaystyle{ \frac{1}{x}>1}\) jest spełniona dla \(\displaystyle{ x=0}\).

Co do ,,wielokropka" podobno nie jest matematyczny, ale wielokrotnie jest na matmie używany, a jego interpretacja (może tylko moja) - (tu) lewa strona się nie kończy i jest tam coś (,,pod wielokropkiem") wynikającego z tego co napisaliśmy na jej początku.

Wielokropek jest wygodny dopóki mamy kontrolę nad tym, co naprawdę oznacza (a nie, co nam się wydaje, że oznacza), czyli gdy jesteśmy w stanie na żądanie przedstawić w pełni formalny opis bez kropek (co się kerajsowi nie udało, jak wykazał a4karo). Zwłaszcza ostrożnym trzeba być przy "kropeczkach do nieskończoności", bo nieskończoność potrafi być bardzo podstępna...

A co to jest "niewyobrażalnie dużo"?

To wygodny synonim nieskończoności.

Jakiej nieskończoności? Bo są różne...

Myślę, że na wszystkie pozostałe wątpliwości kerajsa odpowiada powyższy post a4karo.

JK

[piasek101]

Czyli problem sprowadzony jest do interpretacji wielokropka - okazuje się, że jest ona różna.

W zadaniu interpretuję go (wraz z resztą lewej strony) jako ,,suma nieskończonego ciągu geometrycznego" - niekoniecznie zbieżnego.