Strona 1 z 1
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 10:11
autor: robin5hood
zad
udowodnji, ze jezeli \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n \in\RR_{+}}\) i \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n=a}\) i \(\displaystyle{ a \ne 1}\), to
\(\displaystyle{ (\log_{a}x_1)^2+(\log_{a}x_2)^2+...+(\log_{a}x_n)^2 \geqslant \frac{1}{n}.}\)
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 12:36
autor: Piotr Rutkowski
Ale
Calasilyar, to wcale nie dowodzi naszej tezy. Gdyby kwadrat tej sumy był <= od sumy kwadratów, to wtedy by się zgadzało, a tak to niestety nam nic nie daje
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 12:36
autor: scyth
Calasilyar, nierówność \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}\geqslant \frac{1}{n}}\) trzeba wykazać, a pokazałeś tylko, że
1. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2}\ge \frac{1}{n}}\)
2. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2} \ge (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}}\)
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 12:37
autor: Calasilyar
dobra, usuwam, bo strach patrzeć
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 12:46
autor: scyth
Niech \(\displaystyle{ x = min\{x_1,...,x_n\}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a=x_1\cdot ... x_n x^n x a^{\frac{1}{n}}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}
(log_{a}x)^{2}+(log_{a}x)^{2}+...+(log_{a}x)^{2} = \\
= n (log_{a}x)^{2} = n ft(\frac{1}{n}log_{a}a\right)^{2} = n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}}\)
wykazac nierównosc
: 28 sie 2007, o 21:40
autor: max
Ewentualnie z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową.