Obliczanie logarytmów

[rubesom]

Hej

Jak obliczyć logarytm naturalny dla np \(\displaystyle{ 10}\)? Google podaje mi, że to \(\displaystyle{ 2.30258509299}\) ale jak to wyliczać?

[Premislav]

Dokładnej wartości nie uzyskasz, ale możesz użyć wzoru Maclaurina dla funkcji \(\displaystyle{ \ln(1+x)}\), podstawić \(\displaystyle{ x=9}\) i wziąć odpowiednio dużo wyrazów, by uzyskać żądaną dokładność.
Możesz użyć różnych szacowań reszt, np. reszta w postaci Lagrange'a, w postaci całkowej, w postaci Cauchy'ego (tej ostatniej zbyt dobrze nie pamiętam, poza tym, że brzydko pachnie i jest trochę nieintuicyjna, i coś tam jest z kombinacją wypukłą).

[rubesom]

1. Znalazłem coś takiego jak wyliczenie \(\displaystyle{ \log _{3}9}\) <- to jest logarytm o podstawie \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 9}\) czy czyta się to inaczej? Odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ 2^{2}}\)?
2. Jak mam zapis \(\displaystyle{ \log 10}\) to jest to inaczej \(\displaystyle{ \log _{e}10}\) czy jak to traktować?

[Premislav]

2. Jak mam zapis \(\displaystyle{ \log 10}\) to jest to inaczej \(\displaystyle{ \log _{e}10}\) czy jak to traktować?

są różne konwencje, czasem \(\displaystyle{ \ln}\) oznacza logarytm naturalny, zaś \(\displaystyle{ \log}\) dziesiętny, a w informatyce \(\displaystyle{ \log}\) to raczej logarytm o podstawie \(\displaystyle{ 2}\), a u mnie na którychś zajęciach logarytm naturalny oznaczano jako \(\displaystyle{ \log}\)... Tak więc to zależy od przyjętych oznaczeń.

1. Znalazłem coś takiego jak wyliczenie \(\displaystyle{ \log _{3}9}\)<- to jest logarytm o podstawie \(\displaystyle{ 3}\) z \(\displaystyle{ 9}\) czy czyta się to inaczej? Odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ 2^{2}}\)?

Czyta się to tak, jak napisałeś. Nie, odpowiedzią będzie \(\displaystyle{ 2}\). Musisz podnieść \(\displaystyle{ 3}\) do drugiej potęgi, by uzyskać \(\displaystyle{ 9}\) i dlatego odpowiedź to \(\displaystyle{ 2}\).

[rubesom]

Wszystko już jest dla mnie jasne, dziękuję za pomoc.

[mdd]

Przepraszam, że odkopuję, ale taki chwilowy powrót do szkoły z mojej strony (bo dawno tam nie byłem). Ciekawy artykuł o logarytmach:

Kod: Zaznacz cały

https://kierul.wordpress.com/2019/02/10/po-co-czlowiekowi-w-zyciu-logarytmy-henry-briggs-1617/

Banalny algorytm wyznaczania logarytmów dziesiętnych liczby \(\displaystyle{ x=2}\):

Kod: Zaznacz cały

x=2; a=0; b=1;

for i=1:70;
x=x^2;
if (x>10),
x=x/10;
a=(a+b)/2;
else
b=(a+b)/2;
end;
end;

Szukana wartość spełnia zależność: \(\displaystyle{ a \le \log(x) \le b}\), a zmienne \(\displaystyle{ a, b}\) w kolejnych krokach zbliżają się do dokładnej szukanej wartości logarytmu liczby \(\displaystyle{ x}\).

Zamiast liczby \(\displaystyle{ 10}\) w dwóch miejscach kodu można podstawić inną liczbę, żeby wyznaczyć wartość logarytmu o innej podstawie.


Pomysł zaczerpnięty stąd: viewtopic.php?f=47&t=393554&hilit=przyb ... y+logarytm