Wykaż nierówność
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 29 maja 2014, o 16:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Tomyśl
Wykaż nierówność
Udowodnić, że dla wszystkich \(\displaystyle{ r > -1}\) zachodzą nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{r}{1+r} < \ln(1+r) < r}\)
\(\displaystyle{ \frac{r}{1+r} < \ln(1+r) < r}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 29 maja 2014, o 16:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Tomyśl
Wykaż nierówność
Hmm rzeczywiście... Możliwe, że źle przepisałam. A jak to rozwiązać dla \(\displaystyle{ r > -1}\) i \(\displaystyle{ r \neq 0}\)? Albo jednoznacznie, gdy nierówności są słabe?
- klaustrofob
- Użytkownik
- Posty: 1984
- Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: inowrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 607 razy
Wykaż nierówność
prawa nierówność: rozważ funkcję \(\displaystyle{ f(x)=r-\ln(1+r)}\) jej pochodna jest równa \(\displaystyle{ 1-\frac{1}{1+r}}\), co jest równe 0 dla \(\displaystyle{ r=0}\). pochodna zmienia znak z "-" na "+", więc jest to minimum. nietrudno zauważyć, że jest to minimum globalne. wniosek wyciągnij sama
lewa nierówność: rozważ funkcję \(\displaystyle{ \ln(1+r)-\frac{r}{1+r}=\ln(1+r)+\frac{1}{1+r}-1}\). tu pochodna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{1+r}-\frac{1}{(1+r)^2}=\frac{1}{1+r}(1-\frac{1}{1+r})}\) przeprowadź analizę jak wyżej
lewa nierówność: rozważ funkcję \(\displaystyle{ \ln(1+r)-\frac{r}{1+r}=\ln(1+r)+\frac{1}{1+r}-1}\). tu pochodna jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{1+r}-\frac{1}{(1+r)^2}=\frac{1}{1+r}(1-\frac{1}{1+r})}\) przeprowadź analizę jak wyżej
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
Wykaż nierówność
Wiemy, że dla \(\displaystyle{ n \in \NN}\) mamy
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}<e<\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)
Logarytmując otrzymujemy:
\(\displaystyle{ n \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)<\ln e (=1) < (n+1) \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)}\)
Dalej przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}}\)
Wstaw \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}}\) i masz swoje nierówności.
\(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}<e<\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\)
Logarytmując otrzymujemy:
\(\displaystyle{ n \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)<\ln e (=1) < (n+1) \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right)}\)
Dalej przekształcając:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n+1} < \ln \left( 1+ \frac{1}{n} \right) < \frac{1}{n}}\)
Wstaw \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}}\) i masz swoje nierówności.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 29 maja 2014, o 16:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Tomyśl
Wykaż nierówność
Dzięki klaustrofob.
Swoją drogą rozwiązanie walianta wydaje się być łatwiejsze(o ile zna się pierwszą zależność) jednak nie jestem pewna czy tutaj nie jest pokazane tylko dla \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}, n \in \NN}\)?
Swoją drogą rozwiązanie walianta wydaje się być łatwiejsze(o ile zna się pierwszą zależność) jednak nie jestem pewna czy tutaj nie jest pokazane tylko dla \(\displaystyle{ r= \frac{1}{n}, n \in \NN}\)?
- waliant
- Użytkownik
- Posty: 1801
- Rejestracja: 9 gru 2010, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: warszawa
- Podziękował: 275 razy
- Pomógł: 183 razy
Wykaż nierówność
trochę dla bezpieczeństwa napisałem, że dla naturalnych, ale te nierówności \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n}<e<\left( 1+ \frac{1}{n} \right) ^{n+1}}\) zachodzą dla \(\displaystyle{ n in left[ 1, infty )}\) rzeczywistych.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 29 maja 2014, o 16:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Nowy Tomyśl
Wykaż nierówność
W takim razie wtedy też udowadniamy to tylko dla \(\displaystyle{ r \in (0,1]}\)...