Równanie logarytmiczne

[RobertW]

Utknąłem na takim przykładzie
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}(x+5) - \log_\frac{1}{4}x =2}\)
Co bym nie zrobił to nie wychodzi.Wiem,że jak się odejmuje logarytmy to się je dzieli przez siebie,ale tutaj się równo nie podzieli.Proszę o podpowiedź chociażby.

[piasek101]

Odejmujesz i z definicji logarytmu dalej (po ustaleniu dziedziny).

[RobertW]

Czyli
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}(5)=2 \ \ ?}\) Chyba coś źle rozumiem,sorry nie czaje. Wychodziłoby na to,że x się skrócą i wychodzę na coś takiego...dziwne...

[piasek101]

Powinieneś dostać logarytm z dzielenia \(\displaystyle{ \frac{x+5}{x}}\)

[edit] Ale najpierw dziedzinę ustal.

[RobertW]

Czyli ?jak je podzielę przez siebie to dostanę 1 i resztę z dzielenia 5. Co mam z tym zrobić? Dziedzina:to
\(\displaystyle{ x>-5 \ \ czyli \ \ x \in \left( -5,+ \infty \right)}\)

[AndrzejK]

Wstaw sobie do drugiego logarytmu \(\displaystyle{ -4}\) i spróbuj policzyć.

[RobertW]

Dzięki wszystkim za podpowiedzi,ale nadal mi nie wychodzi.... jak podstawiam -4 wychodzi mi
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}(5) +1 =2}\)
Pewnie coś źle podstawiam.

[piasek101]

Z drugiego logarytmu masz (dziedzinę) \(\displaystyle{ x>0}\).

[Jan Kraszewski]

jak podstawiam \(\displaystyle{ -4}\) wychodzi mi
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}(5) +1 =2}\)

A jak Ci to wychodzi? Bo wydaje się, że masz spore luki w teorii dotyczącej logarytmów.

JK

[RobertW]

No dobra zacznijmy od tego jak dokonam takiego dzielenia\(\displaystyle{ \frac{x+5}{x}}\) to otrzymam 1 i resztę z dzielenia 5,więc zapisuje
\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}1 +\log_\frac{1}{4}5 =2}\)
Nie wiem nawet czy to jest dobrze,co gorsza nawet jakby nie wiem co dalej.
A to podstawienie to nawet nie wiem skąd mi wyszło,chyba coś pomyliłem.
Ma wyjść 5.

[piasek101]

Zacznijmy od dzielenia (bo tak chcesz) \(\displaystyle{ \frac{x+5}{x}=1+\frac{5}{x}}\) więc od początku źle robisz.

[RobertW]

\(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}1 +\log_\frac{1}{4} \frac{5}{x} =2}\)
Czyli tak?
A dalej co?Zgłupiałem chyba już..... pierwszy logarytm będzie równy \(\displaystyle{ 0}\) i nie wiem co z tym dalej zrobić, dwójkę zapisać jako logarytm o podstawie \(\displaystyle{ \frac14}\) z \(\displaystyle{ \frac14}\) do potęgi drugiej co daje \(\displaystyle{ \frac{1}{16}}\) ?

[piasek101]

Masz braki w od podstaw.

Pisałem - ,,dziedzina" - masz ?

Pisałem - ,,logarytm ilorazu" (po odjęciu logarytmów) - masz ?

[AndrzejK]

Zawsze zaczynasz od dziedziny. Dobrze wyznaczyłeś na początku \(\displaystyle{ x>-5}\), ale jest to dziedzina pierwszego wyrażenia. A masz przecież jeszcze drugie, tj. \(\displaystyle{ \log_\frac{1}{4}x}\). Dlatego chciałem, żebyś podstawił \(\displaystyle{ -4}\) i zauważył, że tego nie da się obliczyć, więc błędnie wyznaczyłeś dziedzinę. Teraz, gdy będziesz miał dziedzinę pierwszego czynnika i drugiego, to bierzesz część wspólną. I dopiero wtedy możesz bawić się w rozwiązywanie równania .

[a4karo]

Ale najpierw radzę przyjrzeć się bardzo podstawowym własnościom logarytmów.