Parametr w funkcji wykładniczej

[G17]

Hej. Mam okreslic liczbe rozwiazan rownania w zależnosci od parametru \(\displaystyle{ m}\)

\(\displaystyle{ 2^{mx}-1=0}\)
Podstawienie zrobiłem \(\displaystyle{ t=2^{x}}\)
\(\displaystyle{ t^{m}=1}\) ale nic mi to nie dało

[irena_1]

\(\displaystyle{ 2^{mx}-1=0\\2^{mx}=1\\mx=0}\)

Jeśli \(\displaystyle{ m=0}\), to każda liczba rzeczywista spełnia równanie (nieskończenie wiele rozwiązań)

Jeśli \(\displaystyle{ m\neq0}\), to równanie spełnia tylko \(\displaystyle{ x=0}\) (jedno rozwiązanie)

[G17]

Dzieki a co powiesz na to
\(\displaystyle{ m \cdot 3^{x} + 3 = 0}\) oraz \(\displaystyle{ 3^{x-m}+m=0}\)
Jak możesz to daj też podobne uzasadnienie jak w poprzednim bo dzieki Tobie zrozumiałem tamten przykład

[Althorion]

a) \(\displaystyle{ m3^x + 3 = 0}\):
\(\displaystyle{ 3^x = -\frac{3}{m}\\
x = \log_3 \left(-\frac{3}{m}\right)}\)
Czyli rozwiązanie (jedno) istnieje tylko dla ujemnych \(\displaystyle{ m}\).
b) \(\displaystyle{ 3^{x-m}+m=0}\):
\(\displaystyle{ 3^{x-m} = -m\\
x-m = \log_3 (-m)\\
x = m + \log_3 (-m)}\)
Jw.

[G17]

\(\displaystyle{ x = \log_3 \left(-\frac{3}{m}\right)}\)
Dlaczego? Nie miałem jeszcze log tzn. znam same podstawy. Rozbuduj zdanie to może zrozumie

Da sie to zrobic bez użycia log? Bo zadanie pochodzi z tematu przed

[Althorion]

Tak. Wystarczy zauważyć, że dla \(\displaystyle{ q >0 \wedge q \neq 1}\), wykres funkcji \(\displaystyle{ f(x) = q^x}\) jest zawsze powyżej osi odciętych, tak więc rozwiązanie równania \(\displaystyle{ q^x = a}\) istnieje tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie.

[G17]

Raczej \(\displaystyle{ f(x)=a^{x}}\) jeżeli \(\displaystyle{ a>0 \wedge a \neq 1}\)

Dobra został mi jeszcze jeden: \(\displaystyle{ 7^{mx-1}+m=1}\)

[Althorion]

Raczej \(\displaystyle{ f(x)=a^{x}}\) jeżeli \(\displaystyle{ a>0 \wedge a \neq 1}\)

Racja.

Z tym przykładem tak jak z tamtymi:
\(\displaystyle{ 7^{mx-1} = 1 - m}\)
I chcesz, żeby prawa strona była dodatnia.

[G17]

\(\displaystyle{ 1-m>0 \iff m<1}\)
i co dalej?

[kamil13151]

Nałóż logarytm obustronnie o podstawie \(\displaystyle{ 7}\).

[G17]

\(\displaystyle{ \log_{7} 7^{mx-1} = \log_{7} 1 - m}\)
\(\displaystyle{ mx-1}\) = ...

Przecież nic to nie daje...

[kamil13151]

G17, jak nie jak tak...

\(\displaystyle{ mx-1= \log\left( 1-m\right) \\ mx= \log\left( 1-m\right)+1}\)

Dla \(\displaystyle{ m=0}\) mamy sprzeczność, a dla \(\displaystyle{ m \in \left( - \infty ;0\right) \cup \left( 0, 1\right)}\) jedno rozwiązanie wynoszące \(\displaystyle{ x= \frac{ \log\left( 1-m\right)+1}{m}}\)