Równanie logarytmiczne:
: 31 sie 2011, o 19:17
Czy to rozwiązanie jest dobre i kompletne? :
\(\displaystyle{ \log \left( 2^{x}+4^{x} \right) - \log 8 =\log \left( 2^{x-1}-\frac{1}{4} \right) \qquad /\ \text{przekształcam i pomijam logarytm}\\\\
\frac{2^{x}+4^{x}}{8}=2^{x-1}-\frac{1}{4} \qquad /\ \cdot8 \\\\
2^{x}+2^{2x}=2^{x+2}-2 \\\\
2^{x}+2^{2x}-2^{x} \cdot 2^{2}+2=0 \\\\
\text{ niech }\ t=2^{x}, t>0 \\\\
t^{2}-3t+2=0 \\\\
\Delta=9-8=1 \\\\
t_{1}=\frac{3-1}{2}=1 \qquad t_2=\frac{3+1}{2}=2 \\\\
2^{x}=1 \qquad \vee \qquad 2^{x}=2 \\\\
\ x=0 \qquad \ \vee \qquad x=1}\)
\(\displaystyle{ \log \left( 2^{x}+4^{x} \right) - \log 8 =\log \left( 2^{x-1}-\frac{1}{4} \right) \qquad /\ \text{przekształcam i pomijam logarytm}\\\\
\frac{2^{x}+4^{x}}{8}=2^{x-1}-\frac{1}{4} \qquad /\ \cdot8 \\\\
2^{x}+2^{2x}=2^{x+2}-2 \\\\
2^{x}+2^{2x}-2^{x} \cdot 2^{2}+2=0 \\\\
\text{ niech }\ t=2^{x}, t>0 \\\\
t^{2}-3t+2=0 \\\\
\Delta=9-8=1 \\\\
t_{1}=\frac{3-1}{2}=1 \qquad t_2=\frac{3+1}{2}=2 \\\\
2^{x}=1 \qquad \vee \qquad 2^{x}=2 \\\\
\ x=0 \qquad \ \vee \qquad x=1}\)