Matematyka.pl

Ustal liczbę rozwiązań równania

\(\displaystyle{ 3^{x} \cdot (x+3)=x+6}\)

Łatwo sprawdzić że \(\displaystyle{ x=-3}\) nie jest rozwiązaniem więc możemy podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ x+3}\). Potem narysuj obie strony równania w układzie współrzędnych. (Będziesz miał do narysowania krzywą wykładniczą i hiperbolę (funkcja wymierna)) Punkty wspólne to rozwiązania równości

Przepraszam za odkopywanie i lekkie odbiegnięcie od tematu - czy tak narysowane wykresy i odczytaną z nich ilość rozwiązań trzeba jeszcze tłumaczyć czy uzasadniać albo obliczać? Czytałem już tutaj kilka razy, że wykres jest pomocą, a nie rozwiązaniem i w związku z tym staram się rozwiązywać wszystko algebraicznie, ale może patrząc stricte pod kątem matury nie ma zawsze takiej potrzeby? Wolałbym nie stracić punktów przez zły sposób rozwiązania, ale z drugiej strony wolałbym też nie tracić czasu na bezsensowne wyjaśnianie rzeczy oczywistych i właśnie w przypadku zadań, które łatwo rozwiązać/uzasadnić na podstawie wykresu, nie bardzo wiem jak to połączyć i gdzie jest ta granica.

Właśnie z tą granicą jest problem - nie jest ściśle określona kiedy wystarczy (jak tu) wykres, a kiedy nie.

Jeśli chodzi o to zadanie - oprócz powołania się na wykres nie mamy (oprócz metod numerycznych) nic innego (wg mnie).
Trzeba trochę opisać dlaczego jest tyle rozwiązań - np biorąc pod uwagę monotoniczność gałęzi hiperboli i funkcji wykładniczej.

Rysunek może być jedynie sugestią rozwiązania. W tym przypadku argumenty sa dosyć proste
Funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca, Homografia maleje na przedziale \((-3,\infty)\) więc w tym przedziale może być (i jest ) góra jeden pierwiastek

Na drugiej półprostej argument jest ten sam, a z badania granicy w minus nieskończoności obu funkcji łatwo wyciągniesz wniosek o ilości pierwiastków,