Równanie logarytmiczne

[krzych07]

W prostokątnym układzie współrzędnych zaznacz zbiór punktów płaszczyzny których współrzędne x,y spełniają warunek \(\displaystyle{ (log_{2} x) * (log_{2}y) + 2 = (log_{2}x y^{2} )}\)

[Marcin_Garbacz]

\(\displaystyle{ (log_{2}x)*(log_{2}y)+2=(log_{2}xy^{2})}\)
\(\displaystyle{ (log_{2}x)*(log_{2}y)+2=log_{2}x + log_{2}y^{2}}\)
\(\displaystyle{ (log_{2}x)*(log_{2}y)+2=log_{2}x + 2log_{2}y}\)

I teraz najlepiej wprowadzić sobie zmienne żeby się nie zarypać.

\(\displaystyle{ a=log_{2}x}\)
\(\displaystyle{ b=log_{2}y}\)

\(\displaystyle{ a*b+2=a+2b}\)
\(\displaystyle{ ab-a=2b-2}\)
\(\displaystyle{ a(b-1)=2(b-1)}\)

\(\displaystyle{ b=1}\) lub \(\displaystyle{ a=2}\)

Wracamy do postawienia.

\(\displaystyle{ log_{2}y=1}\)
\(\displaystyle{ y=2}\)

\(\displaystyle{ log_{2}x=2}\)
\(\displaystyle{ x=4}\)

Czyli wykres to będą proste x=4 i y=2 (1 ćwiartka na osi wspólrzędnych).PAMIĘTAJ O DZIEDZINIE! x>0 i y>0!

Myśle, że z wykresem sobie dasz radę.

[belferkaijuz]

\(\displaystyle{ założenia:x>0 \wedge y>0}\)

\(\displaystyle{ (log_2x) \cdot (log_2y)+2=log_x+2log_2y}\)

\(\displaystyle{ log_2x \cdot log_2y-log_2x-2log_2y+2=0}\)

\(\displaystyle{ log_2x \cdot (log_2y-1)-2 \cdot (log_2y-1)=0}\)

\(\displaystyle{ (log_2y-1) \cdot (log_2x-2)=0}\)

\(\displaystyle{ log_2y=1 \vee log_2x=2}\)

\(\displaystyle{ y=2^1 \vee x=2^2}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2 \\ x=4 \\x>0 \wedge y>0\end{cases}}\)