równanie logarytmiczne do udowodnienia

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
weed1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 16 wrz 2008, o 22:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W-wa
Podziękował: 7 razy

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: weed1 » 28 lut 2009, o 15:09

Udowodnij, że jeśli dodatnie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) spełniają warunek

\(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}=23ab}\) , to \(\displaystyle{ \log _{5} (a+b)= \log _{5} ( \sqrt{ab}) + 1}\)

Stosuj klamry texa do całych wyrażeń. Zapoznaj się z punktem III.5 regulaminu.
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 19:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

abc666
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3053
Rejestracja: 15 lis 2008, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 402 razy

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: abc666 » 28 lut 2009, o 15:11

Popraw zapis bo jest niejednoznaczny

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: wb » 28 lut 2009, o 15:14

\(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}=23ab \\ (a+b)^2-2ab=23ab \\ (a+b)^2=25ab \ \ /\sqrt() \\ a+b=5\sqrt{ab}}\)

\(\displaystyle{ \log _{5}(a+b)=\log _5(5\sqrt{ab})=\log _{5}\sqrt{ab}+1}\)
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

HiddenTesseract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 mar 2016, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: HiddenTesseract » 6 mar 2016, o 16:46

Mam pewien problem z tym zadaniem.
Naszym założeniem jest \(\displaystyle{ a^2+b^2=23ab}\), zaś tezą \(\displaystyle{ \log_5{(a+b)}=1+\log_5{\sqrt{ab}}}\). Wiadomo, że zwykle należy przechodzić od założenia do tezy, chyba, że korzystamy z równań równoważnych. Mam jednak problem z momentem, w którym pierwiastkujemy obie strony równości. Przed pierwiastkowaniem \(\displaystyle{ a,b}\) muszą być tych samych znaków lub równe 0, aby równanie było prawdziwe. Po pierwiastkowaniu równanie jest prawdziwe tylko dla \(\displaystyle{ a,b\geq 0}\) czyli mamy zmianę dziedziny, więc te równości nie są równoważne. Zostaje więc tylko implikacja chyba, że zastrzegę równoważność dla mniejszej dziedziny. Tylko w którą stronę dać implikację? Logiczne, że skoro ma być wynikanie od założenia do tezy to implikacja powinna iść z \(\displaystyle{ (a+b)^2=25ab}\) do \(\displaystyle{ a+b=5\sqrt{ab}}\). Jednak gdy biorę pełne dziedziny każdej z tych równości to napotykam następujący problem:
Skoro dla pewnych \(\displaystyle{ a,b<0}\) pierwsza nierówność jest prawdziwa, a druga już nie, to mam implikację \(\displaystyle{ 1 \Rightarrow 0}\) która jest fałszywa, ale przecież w tę stronę powinien iść dowód.
Gdzie robię błąd? Czemu zmniejszenie dziedziny generuje mi fałsz, skoro powinno generować prawdę? I jak z oceną tego typu zadań na maturze w sytuacji, w której szedłbym od tezy do założenia, ale przy przejściach zmieniających dziedzinę zaznaczałbym wyraźnie, że równania są równoważne dla pewnej konkretnej dziedziny?

wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3506
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 1260 razy

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: wb » 6 mar 2016, o 18:31

W treści zadania jest założenie: "... dla dodatnich \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\)..."
Ostatnio zmieniony 6 mar 2016, o 19:08 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

HiddenTesseract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 mar 2016, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: HiddenTesseract » 6 mar 2016, o 22:44

Okay, pamiętam o tym założeniu. I czy to już wystarczy, aby pokazać równoważność idąc od tezy do założenia? Nauczycielka wspominała, że jeśli tak zrobię w tym zadaniu, to będzie 0 punktów na maturze, bo te równania nie są równoważne i koniecznie muszę to napisać od założenia do tezy mimo, że różni się tylko kolejność linijek. Skoro wszystko jest robione przy założeniu początkowym to co za różnica, które z tych równań zacznę przekształcać? Coś mi się tutaj nie zgadza.

pasman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 165
Rejestracja: 26 lut 2016, o 17:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 14 razy

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: pasman » 7 mar 2016, o 00:12

wystarczy. skoro \(\displaystyle{ a,b > 0}\) to nie są ujemne ani zerowe.
normalny sposób dowodzenia to od założenia do tezy i nie dowodzisz przejścia odwrotnego,
bo to już jest inne zadanie.

HiddenTesseract
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 6 mar 2016, o 16:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

równanie logarytmiczne do udowodnienia

Post autor: HiddenTesseract » 7 mar 2016, o 09:06

Ok, wobec tego dwa pytania.
1. Czy wobec tego mógłbym np. napisać przekształcenia idące od tezy do założenia, ale na końcu napisać taką formułkę: "Równania są równoważne dla podanej dziedziny, więc teza została udowodniona" czy też musiałbym skreślić całość i napisać te same równania, ale w odwrotnej kolejności?
2. Załóżmy, że nie miałbym tej dziedziny podanej w zadaniu. Małe szanse, że coś takiego będzie na maturze, ale ciekawi mnie to z czysto matematycznego punktu widzenia. Jak w tej sytuacji wygląda kwestia, którą poruszyłem w pierwszej wypowiedzi.?

ODPOWIEDZ