kilka zadanek....

[Carl0s]

1)\(\displaystyle{ log_{x}2+\frac{1}{log_{4}x}3^{x}> log_8x}\)

sorry..pomylilem sie w zapisie, to jest nierownosc a nie rownanie....
2)\(\displaystyle{ |2^{x}-2|>3^{x}}\)

3)kiedy funkcja przyjmuje wart. ujemne?
\(\displaystyle{ f(x)=log_{2}(4-x^{2})}\)

4)\(\displaystyle{ x^{log_{3}x}+x^{2log_{3}x}>12}\)

[Lady Tilly]

W pierwszym zadaniu:
\(\displaystyle{ log_{x}2+log_{x}4=log_{8}x}\)
\(\displaystyle{ log_{x}(2{\cdot}4)=log_{8}x}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{log_{8}x}=log_{8}x}\) mnożysz obie strony przez \(\displaystyle{ log_{8}x}\)
\(\displaystyle{ 1=(log_{8}x)^{2}{\Leftrightarrow}1=log_{8}x}\) czyli \(\displaystyle{ x=8}\)

[jakkubek]

3)Wtedy, kiedy
\(\displaystyle{ 4-x^2<1}\)
4) Za \(\displaystyle{ x^{log_3x}}\) podstaw \(\displaystyle{ t}\): (\(\displaystyle{ t>0}\))
\(\displaystyle{ (t-3)(t+4)>0}\)
Z tego wychodzi, że
\(\displaystyle{ t\in(3,+\infty)}\)

I teraz:
\(\displaystyle{ x^{log_3x}>3}\)
I nie wiem za bardzo co z tym zrobić

[bolo]

3)Wtedy, kiedy
\(\displaystyle{ 4-x^2<1}\)

Brak założeń, rozwiązanie tego zadania wygląda tak: \(\displaystyle{ 4-x^2\in(0;1)}\), czyli \(\displaystyle{ x\in(-2;-1)\cup(1;2)}\)

\(\displaystyle{ 1=(log_{8}x)^{2}{\Leftrightarrow}1=log_{8}x}\) czyli \(\displaystyle{ x=8}\)

Jeszcze ten przypadek:
\(\displaystyle{ -1=log_{8}x \\ x=\frac{1}{8}}\)

[jasny]

djbolo,
w tym trzecim to chyba raczej \(\displaystyle{ x\in(-2;-\sqrt{3})\cup(\sqrt{3};2)}\)

[Carl0s]

policzylem trzecie i wychodzi mi jak jasnemu wlasnie..ale jak zrobic pierwsze??jak to by bylo rownanie to by bylo banalne ale to nierownosc poza tym co z drugim...??

[jasny]

A bo to nierówność jest...
No to z początku postępujemy podobnie, dochodzimy do:
\(\displaystyle{ \frac{1}{log_{8}x}> log_8x\\
\frac{1-log_{8}^{2}x}{log_{8}x}>0\\
(1-log_{8}x)log_{8}x(1+log_{8}x)>0\\
log_{8}x<-1\vee\left( log_{8}x>0\wedge log_{8}x<1\right) }\)
A z tym już powinieneś sobie poradzić.

[Carl0s]

doszedlem do tego co masz w drugiej linijce..ale nie kapuje co sie dzieje pozniej

[jasny]

Twierdzenie o znaku ilorazu (czyli mnożymy licznik przez mianownik)
A potem rysujesz sobie prowizoryczny wykres jak przy wielomianach

[bolo]

jasny - tak, nie wiem jak to przeoczyłem, zdarza się W każdym razie chodziło mi bardziej o zwrócenie uwagi na dziedzinę

jakkubek - zlogarytmuj przy podstawie 3:

\(\displaystyle{ x^{log_{3}x}>3\,\,\,/log_3(...) \\ log_{3}^{2}x>1 \\ log_{3}x>1 \,\,\vee\,\,log_{3}x<-1\\ x>3\,\,\vee\,\,x<\frac13}\)

Carl0s - w zadaniu 2. nie powinno być czasem \(\displaystyle{ >2^{x}}\)? Bo tak to chyba tylko metody przybliżone... Bo tak to chyba tylko metody przybliżone...

[Carl0s]

djbolo-tak jest napewno w zbiorze zadan..moze blad w druku..co do 4, to ty mnozysz obustronnie przez logarytm przy podstawie 3 z x czy jak?

[bolo]

Logarytmuję obustronnie:

\(\displaystyle{ x^{log_{3}x}>3\,\,\,/log_3(...) \\ log_{3}x^{log_{3}x}>log_{3}3 \\ log_{3}x\cdot log_{3}x>log_{3}3}\)

[Sir George]

Ad.2.
Nie jest takie trudne... Po pierwsze, sprawdzamy znak wyrażenia w wartości bezwzględnej, czyli rozwiązujemy nierówność \(\displaystyle{ 2^x\ge2}\). Otrzymujemy dwa przypadki:
Dla \(\displaystyle{ x\ge1}\) otrzymujemy sprzeczność z nierównością \(\displaystyle{ 2^x-2>3^x.}\)
Dla \(\displaystyle{ x<1}\) mamy do rozwiązania nierówność \(\displaystyle{ 2^x+3^x<2}\), która jest spełniona jedynie dla \(\displaystyle{ x<0}\).
Stąd rozwiązanie to \(\displaystyle{ x\in(-\infty,0).}\)