Wykaż, że jeżeli a,b...

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: Jan Kraszewski »

A tutaj wyraźnie jest napisane "we wnioskowaniu". Musisz odróżniać "wnioskowanie" od "przekształceń równoważnych" (czyli implikację od równoważności) i rozumieć tę różnicę.

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: VanHezz »

- Pisząc, że we wnioskowaniu nie wolno mi użyć danej równości, chodzi Ci o to, że nie mogę np. na wstępie wstawić wyrażenia z tezy do wyrażenia z założenia, lub na odwrót, i przekształcać całościowo otrzymanego wyrażenia, czyli mieszać lewej strony i prawej, dochodząc do prawdy, tak?

- Tak, to jest przykład niepoprawnego rozumowania.
Zrozumiałem to tak, że podczas rozwiązywania zadania nie mogę wstawić wyrażenia z tezy do założenia, lub na odwrót, i po przekształceniach równoważnych dojść do prawdy. Napisałeś, że to przykład niepoprawnego rozumowania, więc wnioskuję, że takie wstawienie założenia do tezy i dojście do prawdy to też jest przykład wnioskowania z tezy.
- Więc z jednej strony mówisz, że nie moge wstawić założenia do tezy i dojść do prawdy (pomimo przekształceń równoważnych i zgodnych z założeniem)

- Nigdzie czegoś takiego nie napisałem.
Tutaj w moim zdaniu nie pojawiają się słowa 'we wnioskowaniu', ale tak jak rozumiem różnicę między implikacją a równoważnością, tak za nic nie mogę zrozumieć gdzie w trakcie dowodu popełniłbym wnioskowanie z tezy, a gdzie po prostu wstawiłbym założenie do tezy i doszedł do końca.
Czym jest zatem wnioskowanie z tezy, lub z założenia? Wg mnie każde 'wstawienie' tezy do założenia, lub założenia do tezy, jest już wnioskowaniem czyli implikacją. I skoro mówisz, że mogę 'wstawić' założenie do tezy i przekształcać, to znaczy że to nie jest wnioskowanie z tezy, a wnioskowaniem z tezy, jak rozumiem, byłoby 'wstawienie' tezy do założenia. Tak, jestem świadomy, że trochę infantylizuję terminologię ;)


Weźmy np. takie zadanie. Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b=1}\) i \(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} = 7}\), to \(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} =31
}\)

Implikacją obu założeń jest, że \(\displaystyle{ ab=-3}\).

1)
Wychodzę od tezy:

\(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} =31}\)
\(\displaystyle{ ( a^{2}+b ^{2} )^{2} -2(ab) ^{2} =31}\) . Wstawiam założenia.
\(\displaystyle{ 49-18 =31}\)
\(\displaystyle{ 49=49}\) c.n.d

2)
Wychodzę od założenia:

\(\displaystyle{ a^{2} +b^{2}=7}\). Podnoszę do kwadratu.
\(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+2(ab)^{2}=49}\). Wstawiam wyrażenie z tezy i wniosek z założenia, \(\displaystyle{ ab=-3}\)
\(\displaystyle{ 31+18=49}\)
\(\displaystyle{ 49=49}\) c.n.u.

Które rozwiązanie jest poprawne i w którym z tych rozwiązań wnioskowałem z tezy? Chodzi o to, że w drugim rozwiązaniu już z góry przyjąłem, że teza jest prawdą i wstawiłem ją do wyrażenia z założenia, dochodząc do prawdy, co było złym posunięciem?

Weźmy inne zadanie:
Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są tego samego znaku, to \(\displaystyle{ \frac{ a^{3} }{b} +\frac{b ^{3}}{a} \ge a^{2} + b^{2} }\)
Więc z założenia mamy \(\displaystyle{ a \neq 0}\), \(\displaystyle{ b \neq 0}\) i \(\displaystyle{ ((a>0 \wedge b>0) \vee (a<0 \wedge b<0)) \Leftrightarrow ab>0}\). Daję równoważność, bo z prawej też wynika lewa, bo mamy alternatywe w nawiasie.

I korzystając na początku z założenia, robię pierwsze przekształcenie tezy, mnożąc przez \(\displaystyle{ ab}\) i nie zmieniając znaku:
\(\displaystyle{ a^{4} +b^{4} \ge a^{3}b+ab^{3}}\)
i na końcu dochodzę do
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2}) \ge 0}\), co stwierdzam, że jest prawdą, po raz drugi korzystając z założenia.

I rozumiem, że takie rozwiązanie jest poprawne, gdy dokonuję równoważnych przekształceń wnioskując z... założenia.


I może jeszcze ostatnie zadanie. Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ 2a+b \ge 0}\), to \(\displaystyle{ 2a ^{3}+b^{3} \ge 3a^{2}b}\)

Wychodzę z założenia i podnoszę je do trzeciej potęgi:
\(\displaystyle{ 8a^{2}+12a^{2}b+6ab^{2}+b^{3} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 3a^{2}b \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)

I teraz 'wstawiam' założenie do tezy:

\(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge 3a^{2}b \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)
\(\displaystyle{ 16a^{3} + 6ab^{2} + 5b^{3} \ge 0 }\)

Dzielę wyrażenie po lewej przez \(\displaystyle{ 2a+b}\) i dostaję \(\displaystyle{ 8a^{2}-4ab+5b^{2}}\), więc

\(\displaystyle{ (8a^{2}-4ab+5b^{2})(2a+b) \ge 0}\), co jest prawdą, ze względu na założenie i na to, że wyróżnik trójmianu jest mniejszy bądź równy zero bo \(\displaystyle{ \Delta = -144b^{2}}\)

Więc w tym przykładzie również 'wstawiłem' założenie do tezy i doszedłem do prawdy. Czy na jakimś etapie wnioskowałem z tezy?

Jaki byłby przykład wnioskowania tezy w tych trzech zadaniach?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21 Zrozumiałem to tak, że podczas rozwiązywania zadania nie mogę wstawić wyrażenia z tezy do założenia, lub na odwrót, i po przekształceniach równoważnych dojść do prawdy. Napisałeś, że to przykład niepoprawnego rozumowania, więc wnioskuję, że takie wstawienie założenia do tezy i dojście do prawdy to też jest przykład wnioskowania z tezy.
To źle wnioskujesz. Prowadząc rozumowanie możesz wykonywać dwa rodzaje przejść: przejścia równoważne albo wnioskowania. Istotne jest nie tyle to, co wstawiasz do czego, tylko jaka jest struktura logiczna Twojego rozumowania.

Istotne jest też to, jak formułujesz rozumowanie. Z formalnego punktu widzenia jest ogromna różnica pomiędzy sformułowaniami "jeżeli...to...", "zatem", "czyli" a "wtedy i tylko wtedy, gdy...", "równoważnie".
VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21 Tutaj w moim zdaniu nie pojawiają się słowa 'we wnioskowaniu', ale tak jak rozumiem różnicę między implikacją a równoważnością, tak za nic nie mogę zrozumieć gdzie w trakcie dowodu popełniłbym wnioskowanie z tezy, a gdzie po prostu wstawiłbym założenie do tezy i doszedł do końca.
Czym jest zatem wnioskowanie z tezy, lub z założenia? Wg mnie każde 'wstawienie' tezy do założenia, lub założenia do tezy, jest już wnioskowaniem czyli implikacją. I skoro mówisz, że mogę 'wstawić' założenie do tezy i przekształcać, to znaczy że to nie jest wnioskowanie z tezy, a wnioskowaniem z tezy, jak rozumiem, byłoby 'wstawienie' tezy do założenia. Tak, jestem świadomy, że trochę infantylizuję terminologię ;)
Kluczowe jest rozumienie struktury logicznej dowodu. Ty podchodzisz do tego mało formalnie i dlatego masz kłopoty z rozróżnieniem pojęć. W Twoich dowodach w ogóle nie ma komentarza (no OK, w szkole nikt go nie oczekuje, liczy się nie to, czy uczeń widzi i wie, co robi, tylko czy jego rozumowanie może być zinterpretowane jako poprawne...), ale to sprawia, że pewne kwestia umykają.
VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21 Weźmy np. takie zadanie. Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a+b=1}\) i \(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} = 7}\), to \(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} =31
}\)

Implikacją obu założeń jest, że \(\displaystyle{ ab=-3}\).

1)
Wychodzę od tezy:

\(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} =31}\)
\(\displaystyle{ ( a^{2}+b ^{2} )^{2} -2(ab) ^{2} =31}\) . Wstawiam założenia.
\(\displaystyle{ 49-18 =31}\)
\(\displaystyle{ 49=49}\) c.n.d

2)
Wychodzę od założenia:

\(\displaystyle{ a^{2} +b^{2}=7}\). Podnoszę do kwadratu.
\(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+2(ab)^{2}=49}\). Wstawiam wyrażenie z tezy i wniosek z założenia, \(\displaystyle{ ab=-3}\)
\(\displaystyle{ 31+18=49}\)
\(\displaystyle{ 49=49}\) c.n.u.

Które rozwiązanie jest poprawne i w którym z tych rozwiązań wnioskowałem z tezy? Chodzi o to, że w drugim rozwiązaniu już z góry przyjąłem, że teza jest prawdą i wstawiłem ją do wyrażenia z założenia, dochodząc do prawdy, co było złym posunięciem?
Rozwiązanie 1) może być poprawne przy odpowiednim komentarzu (choć wygląda marnie, a prosta przeróbka mogłaby z tego zrobić bardzo ładny dowód).

Rozwiązanie 2) jest błędne, bo w kluczowym momencie wnioskujesz z tezy.
VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21 Weźmy inne zadanie:
Wykaż, że jeżeli różne od zera liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są tego samego znaku, to \(\displaystyle{ \frac{ a^{3} }{b} +\frac{b ^{3}}{a} \ge a^{2} + b^{2} }\)
Więc z założenia mamy \(\displaystyle{ a \neq 0}\), \(\displaystyle{ b \neq 0}\) i \(\displaystyle{ ((a>0 \wedge b>0) \vee (a<0 \wedge b<0)) \Leftrightarrow ab>0}\). Daję równoważność, bo z prawej też wynika lewa, bo mamy alternatywe w nawiasie.

I korzystając na początku z założenia, robię pierwsze przekształcenie tezy, mnożąc przez \(\displaystyle{ ab}\) i nie zmieniając znaku:
\(\displaystyle{ a^{4} +b^{4} \ge a^{3}b+ab^{3}}\)
i na końcu dochodzę do
\(\displaystyle{ (a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2}) \ge 0}\), co stwierdzam, że jest prawdą, po raz drugi korzystając z założenia.

I rozumiem, że takie rozwiązanie jest poprawne, gdy dokonuję równoważnych przekształceń wnioskując z... założenia.
Jest poprawne, pod warunkiem dodania stosownego komentarza.
VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21 I może jeszcze ostatnie zadanie. Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ 2a+b \ge 0}\), to \(\displaystyle{ 2a ^{3}+b^{3} \ge 3a^{2}b}\)

Wychodzę z założenia i podnoszę je do trzeciej potęgi:
\(\displaystyle{ 8a^{2}+12a^{2}b+6ab^{2}+b^{3} \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 3a^{2}b \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)

I teraz 'wstawiam' założenie do tezy:

\(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge 3a^{2}b \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)
\(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)
\(\displaystyle{ 16a^{3} + 6ab^{2} + 5b^{3} \ge 0 }\)

Dzielę wyrażenie po lewej przez \(\displaystyle{ 2a+b}\) i dostaję \(\displaystyle{ 8a^{2}-4ab+5b^{2}}\), więc

\(\displaystyle{ (8a^{2}-4ab+5b^{2})(2a+b) \ge 0}\), co jest prawdą, ze względu na założenie i na to, że wyróżnik trójmianu jest mniejszy bądź równy zero bo \(\displaystyle{ \Delta = -144b^{2}}\)

Więc w tym przykładzie również 'wstawiłem' założenie do tezy i doszedłem do prawdy. Czy na jakimś etapie wnioskowałem z tezy?
Nie wnioskowałeś (albo dokładniej - zapewne nie wnioskowałeś, bo Twój niewystarczający komentarz nie pozwala tego stwierdzić...).
VanHezz pisze: 25 paź 2021, o 10:21Jaki byłby przykład wnioskowania tezy w tych trzech zadaniach?
Rozwiązanie 2) pierwszego zadania jest ewidentnym wnioskowaniem z tezy.

Dla wyjaśnienia zapiszę Twoje dwa rozwiązania z komentarzem:

1)
Równość \(\displaystyle{ a ^{4} +b ^{4} =31}\) (1)
jest równoważna równości \(\displaystyle{ ( a^{2}+b ^{2} )^{2} -2(ab) ^{2} =31}\) (2).
Z założeń \(\displaystyle{ a+b=1}\) i \(\displaystyle{ a^{2} + b ^{2} = 7}\) możemy wywnioskować (trzeba napisać w jaki sposób), że \(\displaystyle{ ab=-3}\) (3)
(komentarz: założenia są z definicji prawdziwe, więc to, co z nich wywnioskujemy również jest prawdziwe).
Przy założeniu (3) równość (2) jest równoważna równości \(\displaystyle{ 49-18 =31}\) (4),
która jest prawdziwa. Wobec tego teza (1), jako równoważna (przy posiadanych założeniach) równości (4) też jest prawdziwa.

Schemat rozumowania to \(\displaystyle{ (1)\iff(2)\stackrel{(3)}{\iff}(4)\iff\text{prawda}}\) (czyli \(\displaystyle{ (3)\Longrightarrow((1)\iff\text{prawda})}\)).
Zatem (1) jest prawdą.

2)

Równość \(\displaystyle{ a^{2} +b^{2}=7}\) (1)
jest prawdziwa (jako założenie). Podnoszę (1) do kwadratu i otrzymuję prawdziwą równość \(\displaystyle{ a^{4}+b^{4}+2(ab)^{2}=49}\) (2)
Wstawiam wyrażenie z tezy (T) i wniosek z założenia, \(\displaystyle{ ab=-3}\) (3)
i dostaję prawdziwą równość \(\displaystyle{ 31+18=49}\).

Schemat rozumowania to \(\displaystyle{ (1)\iff(2)\stackrel{T\land(3)}{\Longrightarrow}\text{prawda}}\).
I tutaj wykonałeś wnioskowanie \(\displaystyle{ (2)\land(3)\land\red{(T)}\,\Longrightarrow\text{prawda}}\), czyli wywnioskowałeś z tezy prawdę. Masz więc wnioskowanie z tezy.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: a4karo »

Rozwiązanie 3 jest niestety do bani

Z założenia masz nierówność
\(\displaystyle{ 3a^{2}b \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)

Pokazujesz nierówność
\(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge - \frac{b^{3}}{4} - \frac{3ab^{2}}{2} - 2a^{3}}\)

Jak niby stąd ma wynikać nierówność \(\displaystyle{ 2a^{3}+b^{3} \ge 3a^{2}b }\)?
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo pisze: 25 paź 2021, o 19:37 Rozwiązanie 3 jest niestety do bani
Dzięki za czujność, już nie chciało mi się ostatniego dowodu uważnie czytać (bo leciałem na zajęcia...).

Poprawiam się zatem: w ostatnim dowodzie nie dość, że wnioskujesz z tezy, to w dodatku w bezsensowny sposób. A nawet jeśli wykręcić to "rozwiązanie" tak, że nie będzie wnioskowania z tezy, to i tak niczego ono nie dowodzi.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: a4karo »

A wystarczyło podzielić `2a^3+b^3-3a^2b` przez `2a+b`
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: Jan Kraszewski »

No tak, ale główne pytanie nie było "jak to udowodnić?" tylko "czy ten dowód jest poprawny?" - to był tylko przykład.

JK
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: VanHezz »

Zrozumiałem to tak, że podczas rozwiązywania zadania nie mogę wstawić wyrażenia z tezy do założenia, lub na odwrót, i po przekształceniach równoważnych dojść do prawdy. Napisałeś, że to przykład niepoprawnego rozumowania, więc wnioskuję, że takie wstawienie założenia do tezy i dojście do prawdy to też jest przykład wnioskowania z tezy.
To źle wnioskujesz. Prowadząc rozumowanie możesz wykonywać dwa rodzaje przejść: przejścia równoważne albo wnioskowania. Istotne jest nie tyle to, co wstawiasz do czego, tylko jaka jest struktura logiczna Twojego rozumowania.
W porządku, ważna jest struktura logiczna rozumowania. Jednak w większości rozwiązań, aby uniknąć wnioskowania z tezy między innymi albo (1) przekształcam równoważnie założenie i dochodzę do tezy, (2) przekształcam równoważnie tezę (m.in. korzystając z założeń) i dochodzę do tożsamości (3) albo biorę tylko fragment tezy, np. lewą stronę, i przy pomocy założeń i innych twierdzeń dochodzę do prawej strony. Ale staram się nigdy nie "wstawiać" całego wyrażenia z tezy do założenia, tak jak w drugim rozwiązaniu pierwszego zadania, bo to nawet na mój opóźniony chłopski rozum śmierdzi czymś niedobrym, i chyba zwykle prowadzi to właśnie do wnioskowania z tezy.
Ja wciąż piję do tych słów "nie mogę wstawić wyrażenia z tezy do założenia, lub na odwrót" z naciskiem na "lub na odwrót', bo z tego 'lub na odwrót" zrozumiałem, że nie mogę też wstawiać założenia do tezy, a takie działanie zwykle nie prowadzi raczej do złego wnioskowania, przy założeniu że cała reszta struktura rozumowania jest logiczna, o czym wspominasz.

Natomiast powiedziałeś teraz, że "Istotne jest nie tyle to, co wstawiasz do czego". Czy mógłbyś podać przykład poprawnego rozumowania, w którym wstawiłoby się tezę do założenia, a mimo to nie wnioskowałoby się z tezy w ostatecznym rozrachunku?

Dodano po 1 godzinie 16 minutach 32 sekundach:
PS. I tak, wiem, że podchodzę mało formalnie do tematu, ale to wynik mojego małego doświadczenia w operowaniu takim językiem. Niemniej jestem świadomy, że jest mnóstwo rodzajów dowodów i że przedstawienie rozumowania w uzasadniony, logiczny sposób z komentarzem jest istotne i wiem też, że poziom maturalny tego nie wymaga. Dziękuję tym samym za schematy rozumowania pod moimi zadaniami. Rozumiem je.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wykaż, że jeżeli a,b...

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 26 paź 2021, o 11:56Ja wciąż piję do tych słów "nie mogę wstawić wyrażenia z tezy do założenia, lub na odwrót" z naciskiem na "lub na odwrót', bo z tego 'lub na odwrót" zrozumiałem, że nie mogę też wstawiać założenia do tezy, a takie działanie zwykle nie prowadzi raczej do złego wnioskowania, przy założeniu że cała reszta struktura rozumowania jest logiczna, o czym wspominasz.

Natomiast powiedziałeś teraz, że "Istotne jest nie tyle to, co wstawiasz do czego". Czy mógłbyś podać przykład poprawnego rozumowania, w którym wstawiłoby się tezę do założenia, a mimo to nie wnioskowałoby się z tezy w ostatecznym rozrachunku?
Pisząc "Istotne jest nie tyle to, co wstawiasz do czego" dałem wyraz swojemu przekonaniu, co jest ważne przy konstruowaniu dowodu. Gdy dowodzę twierdzeń, to nie podchodzę do tego na zasadzie "co do czego wstawić", tylko zastanawiam się, jak w poprawny sposób dowieść prawdziwości tezy, korzystając z założeń. Dlatego trudno mi spełnić Twoją prośbę, bo z mojego punktu widzenia jest ona sztuczna.

JK
ODPOWIEDZ