Przekształcenia logarytmów

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Przekształcenia logarytmów

Post autor: VanHezz »

Korzystając z tematu o logarytmach, chciałbym spytać czy poniższe przekształcenia są poprawne. Logarytmy nie są moją dobrą stroną.

Mam udowodnić, że \(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} }\)\(\displaystyle{ = 5^{\log_3{2}}}\)

\(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} = 2 ^{ \frac{\log_2{5}}{\log_2{3}} } = ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} } = (5^{\log_2{3}}) ^{-1} = (5^{ \frac{\log_3{3}}{\log_3{2}} } ) ^{-1} = (5 ^{ \frac{1}{\log_3{2}} })^{-1} = ((5 ^{\log_3{2}} ) ^{-1} ) ^{-1} =5 ^{\log_3{2}} }\)

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 22 paź 2021, o 15:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nowe pytanie – nowy temat.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przekształcenia logarytmów

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 22 paź 2021, o 15:39\(\displaystyle{ 2^{\log_3{5}} = 2 ^{ \frac{\log_2{5}}{\log_2{3}} } = ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }\ \red{=}\ (5^{\log_2{3}}) ^{-1} = (5^{ \frac{\log_3{3}}{\log_3{2}} } ) ^{-1} = (5 ^{ \frac{1}{\log_3{2}} })^{-1}\ \red{=}\ ((5 ^{\log_3{2}} ) ^{-1} ) ^{-1} =5 ^{\log_3{2}} }\)
Czerwone równości są nieprawdziwe.

Nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ a^\frac{1}{b}=\left( a^b\right)^{-1}. }\)

JK

PS
W dowodzie wystarczy skorzystać z faktu, że dla \(\displaystyle{ a,b>0}\) mamy \(\displaystyle{ a=b \Leftrightarrow \log_3a=\log_3b.}\)
VanHezz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 245
Rejestracja: 22 wrz 2012, o 11:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Międzyrzecz
Podziękował: 34 razy

Re: Przekształcenia logarytmów

Post autor: VanHezz »

Faktycznie, pośpiech robi swoje. Tak chyba lepiej:

\(\displaystyle{ ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }= 5^{(\log_2{3}) ^{-1} } = 5 ^{ (\frac{\log_3{3}}{\log_3{2}}) ^{-1} } = 5 ^{\log_3{2}} }\)


Co do twojego rozwiązanie, to znam je, bo podobne było odpowiedziach. Sam niestety na nie nie wpadłem.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Przekształcenia logarytmów

Post autor: Jan Kraszewski »

VanHezz pisze: 22 paź 2021, o 17:50Tak chyba lepiej:

\(\displaystyle{ ( 2^{\log_2{5}} )^{ \frac{1}{\log_2{3}} }= 5^{(\log_2{3}) ^{-1} } = 5 ^{ (\frac{\log_3{3}}{\log_3{2}}) ^{-1} } = 5 ^{\log_3{2}} }\)
Teraz jest dobrze.

JK
ODPOWIEDZ