Jak to udowodnić?
Pokaż, że jedyną liczbą naturalną \(\displaystyle{ n}\), dla której obie liczby \(\displaystyle{ \log_2 n}\) i \(\displaystyle{ \log_3 n}\) są wymierne, jest liczba \(\displaystyle{ n = 1}\).
Dowód z logarytmami
-
- Użytkownik
- Posty: 18
- Rejestracja: 24 kwie 2021, o 12:00
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 22
- Podziękował: 3 razy
Dowód z logarytmami
Ostatnio zmieniony 18 cze 2021, o 21:52 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- JHN
- Użytkownik
- Posty: 671
- Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radom
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 207 razy
Re: Dowód z logarytmami
Ja bym zaczął:
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_2 n=p\\\log_3 n=q\ne0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są wymierne.
Wtedy
\(\displaystyle{ q={\log_2n\over\log_23}={p\over\log_23}\Rightarrow \log_23={p\over q}}\)
Wobec niewymierności \(\displaystyle{ \log_23}\) - sprzeczność
Pozostanie sprawdzenie \(\displaystyle{ q=0}\)...
Pozdrawiam
Niech
\(\displaystyle{ \begin{cases} \log_2 n=p\\\log_3 n=q\ne0 \end{cases}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q}\) są wymierne.
Wtedy
\(\displaystyle{ q={\log_2n\over\log_23}={p\over\log_23}\Rightarrow \log_23={p\over q}}\)
Wobec niewymierności \(\displaystyle{ \log_23}\) - sprzeczność
Pozostanie sprawdzenie \(\displaystyle{ q=0}\)...
Pozdrawiam