Równanie logarytmiczne z parametrem

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM » 21 lis 2020, o 23:06

Witam,

mam problem z równaniem. Próbowałem już wszystkiego i dalej nie wiem jak to ruszyć. Proszę o pomoc.

Zadanie: Czy możliwe jest znalezienie takich wartości \(a\) i \(x\), że \(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
Ostatnio zmieniony 21 lis 2020, o 23:19 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Do zapisu wyrażeń matematycznych używaj LaTeX-a oraz tagów [latex][/latex] lub komend \(\) bądź \[\].

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 22 lis 2020, o 01:36

Tak, to jest możliwe...
Dla \(\displaystyle{ a=e^{1\over e}}\) jest jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ x=e}\), dla \(\displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}\) istnieją dwa rozwiązanie zmiennej \(\displaystyle{ x}\).

Zacznij od interpretacji graficznej równania... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne, czyli spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\). Dla mniejszych \(\displaystyle{ a}\) wykresy przetną sie dwukrotnie.

Pozdrawiam

SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM » 22 lis 2020, o 11:31

Dzięki za odpowiedź.
A możesz mi jeszcze powiedzieć skąd się wzięło \(\displaystyle{ e ^{ \frac{1}{e} } }\)?

Dodano po 3 godzinach 7 minutach 35 sekundach:
Ok. Już doszedłem to tego. Jeszcze tylko proszę o wyjaśnienie czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 22 lis 2020, o 17:08

SemastianM pisze:
22 lis 2020, o 14:38
... czemu się stosuje pochodna w takim momencie. Czy to jakaś reguła?
Skoro wykresy są styczne, to m.in. pochodne są równe. Nie nazwałbym tego regułą, ale nietuzinkowym wykorzystaniem pochodnej.

Pozdrawiam

SemastianM
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 21 lis 2020, o 23:01
Płeć: Mężczyzna
wiek: 26

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: SemastianM » 22 lis 2020, o 22:59

No tak, wszystko jasne. Dzięki!

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 255 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo » 22 lis 2020, o 23:19

@JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 23 lis 2020, o 01:52

Mondo pisze:
22 lis 2020, o 23:19
@JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)
Ideę ogarnąłeś?
JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).
czyli
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {1\over x\ln a}=1\end{cases}\\
\begin{cases}\ln x=x\ln a \\ 1= x\ln a\end{cases}\Rightarrow \ln x=1\iff x=e}\)

Zatem, z (ii),
\(\displaystyle{ \ln a={1\over e}\iff a=e^{1\over e}}\)

Pozdrawiam

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 255 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo » 25 lis 2020, o 00:58

JHN pisze:
23 lis 2020, o 01:52
Mondo pisze:
22 lis 2020, o 23:19
@JHN, mógłbyś pokazać swoje rozwiązanie? :)
Ideę ogarnąłeś?
JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
...spełniony musi być układ: \(\displaystyle{ \begin{cases} \log_a x=x \\ (\log_a x)'=(x)'\end{cases}}\).
No nie bardzi właśnie jak dla mnie jeśli ma być `log_a(x) = a^x` to `a^{a^x} = x` tak więc skąd u ciebie w układzie równań `log_a(x) = x`?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 25 lis 2020, o 01:06

JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\). Aby równanie miało jedno rozwiązanie, wykresy muszą być styczne,...
W szczególności obydwa wykresy są styczne w tym samym punkcie do \(\displaystyle{ y=x}\), czyli \(\displaystyle{ \log_ax=x=a^x}\)

Pozdrawiam

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 255 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo » 25 lis 2020, o 16:02

Mówiąc
JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
... wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).
masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ? Tutaj mam plot dla tych dwóch właśnie (jako `a` podstawiłem 10) i zdaje się, że nie są symetryczne względnem żadnej prostej https://i.paste.pics/4410e516591815c7c4 ... 37442a.png zgadza się?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 25 lis 2020, o 18:09

SemastianM pisze:
21 lis 2020, o 23:06
\(\log_{a}(x) = a^{x}\) dla \(a>1?\)
JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
Zacznij od interpretacji graficznej równania...
Czyli
\(\displaystyle{ y_L=\log_{a}x}\)
oraz
\(\displaystyle{ y_P=a^{x}}\)
Są to funkcje wzajemnie odwrotne.
JHN pisze:
22 lis 2020, o 01:36
wykresy funkcji stron równania są symetryczne wglądem prostej \(\displaystyle{ y=x}\).
Jest to własność takich funkcji!
Mondo pisze:
25 lis 2020, o 16:02
...masz na myśli wykresy `y = a^{a^x}` oraz `log_a(x)` ?
W którym miejscu to napisałem :?: Nota bene widzę wzór tylko jednej funkcji...
Przeczytaj, proszę, ze zrozumieniem cały wątek :!:

Kończę i pozdrawiam

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 255 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo » 25 lis 2020, o 23:56

Ok już rozumiem metodykę tego rozwiązania - bardzo ładne, dziekuję :D

Podobnie można także utworzyc układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} {\ln x\over\ln a}=x \\ {\frac{d}{dx}a^x = \frac{d}{dx}x} = 1 \end{cases}\\}\)

Mam jeszcze takie pytanie, po wyznaczeniu `a = e^{1/e}` podajesz, że dla przedzielu \(\displaystyle{ \displaystyle{ 1<a<e^{1\over e}}}\) istneiją dwa rozwiązania - jak to wyznaczyłeś?

Dziękuję

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 512
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 156 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: JHN » 26 lis 2020, o 01:37

Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam

Mondo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 478
Rejestracja: 11 sty 2011, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 255 razy
Pomógł: 7 razy

Re: Równanie logarytmiczne z parametrem

Post autor: Mondo » 26 lis 2020, o 23:13

JHN pisze:
26 lis 2020, o 01:37
Zinterpretuj graficznie dane równanie dla kilku wartości podstawy \(\displaystyle{ a}\), np. \(\displaystyle{ 2;\ 1,5;\ 1,2;\ \cdots}\) a sam zauważysz zależność.

Pozdrawiam
Tak, widzę te rozwiązania patrzac równolegle na wykresy funkcji `ln_a(x)` oraz `y = x` i masz rację dla `1,1` `1,2` i kilka innych wartości spełniają to równanie. Natomiast zastanawiam się czy istenieje algebraiczna metoda znalazienia tych rozwiązań?

Pozdrawiam

ODPOWIEDZ