Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
savagekrosa
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 17 maja 2010, o 20:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Post autor: savagekrosa » 11 sty 2011, o 00:52

Ustal liczbę rozwiązań równania

\(\displaystyle{ 3^{x} \cdot (x+3)=x+6}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
akw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 479
Rejestracja: 24 lis 2010, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: W.
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 57 razy

Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Post autor: akw » 11 sty 2011, o 01:00

Łatwo sprawdzić że \(\displaystyle{ x=-3}\) nie jest rozwiązaniem więc możemy podzielić przez dwumian \(\displaystyle{ x+3}\). Potem narysuj obie strony równania w układzie współrzędnych. (Będziesz miał do narysowania krzywą wykładniczą i hiperbolę (funkcja wymierna)) Punkty wspólne to rozwiązania równości

DamianSc
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 27 sty 2020, o 11:40
Płeć: Mężczyzna
wiek: 23
Podziękował: 3 razy

Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Post autor: DamianSc » 12 lut 2020, o 10:24

Przepraszam za odkopywanie i lekkie odbiegnięcie od tematu - czy tak narysowane wykresy i odczytaną z nich ilość rozwiązań trzeba jeszcze tłumaczyć czy uzasadniać albo obliczać? Czytałem już tutaj kilka razy, że wykres jest pomocą, a nie rozwiązaniem i w związku z tym staram się rozwiązywać wszystko algebraicznie, ale może patrząc stricte pod kątem matury nie ma zawsze takiej potrzeby? Wolałbym nie stracić punktów przez zły sposób rozwiązania, ale z drugiej strony wolałbym też nie tracić czasu na bezsensowne wyjaśnianie rzeczy oczywistych i właśnie w przypadku zadań, które łatwo rozwiązać/uzasadnić na podstawie wykresu, nie bardzo wiem jak to połączyć i gdzie jest ta granica.

piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23024
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3121 razy

Re: Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Post autor: piasek101 » 12 lut 2020, o 10:39

Właśnie z tą granicą jest problem - nie jest ściśle określona kiedy wystarczy (jak tu) wykres, a kiedy nie.

Jeśli chodzi o to zadanie - oprócz powołania się na wykres nie mamy (oprócz metod numerycznych) nic innego (wg mnie).
Trzeba trochę opisać dlaczego jest tyle rozwiązań - np biorąc pod uwagę monotoniczność gałęzi hiperboli i funkcji wykładniczej.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17546
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2961 razy

Re: Równanie wykładnicze - ilość rozwiązań

Post autor: a4karo » 12 lut 2020, o 21:33

Rysunek może być jedynie sugestią rozwiązania. W tym przypadku argumenty sa dosyć proste
Funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca, Homografia maleje na przedziale \((-3,\infty)\) więc w tym przedziale może być (i jest ) góra jeden pierwiastek

Na drugiej półprostej argument jest ten sam, a z badania granicy w minus nieskończoności obu funkcji łatwo wyciągniesz wniosek o ilości pierwiastków,

ODPOWIEDZ