Nierówność wykładnicza

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 13 sty 2020, o 16:06

\(\displaystyle{ \left(x^2-6x+9\right)^{x+3}<1}\)

Jakieś wskazówki?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 13 sty 2020, o 16:37

Najpierw dziedzina. Potem się zastanów kiedy \(a^b<1\)

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 13 sty 2020, o 16:58

Dziedzina to zbiór liczb rzeczywistych, natomiast potęga będzie mniejsza od jeden gdy wykładnik będzie ujemny, bądź podstawa potęgi mniejsza niż jeden.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 13 sty 2020, o 17:34

Dziedzina wymaga uzasadnienia

W drugiej części próbujesz podać dwa przypadki. Zrób to, wyraźnie opisując każdy z przypadków

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 13 sty 2020, o 23:50

Wyszło mi:
\(\displaystyle{ x\in\left(-\infty,-3\right)\cup\left(2,4\right)}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 14 sty 2020, o 06:32

Wolalbym oceniać rozwiązanie, a nie odpowiedź.
Pamiętaj, że odpowiedź może być poprawna, a zadanie źle zrobione

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 14 sty 2020, o 23:48

Czy chodzi o takie dwa przypadki?

1. \(\displaystyle{ a^b<1\Rightarrow a\neq 0 \wedge b<1}\)

2. \(\displaystyle{ a^b<1\Rightarrow a<1 \wedge b>0}\)

Z tą dziedziną to nie wiem co tutaj wymaga uzasadnienia. Chodzi o to, żeby nie było takiego argumentu dla którego uzyskalibyśmy symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \left[0^0\right]}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 15 sty 2020, o 08:14

Implikacja to raczej w drugą stronę i pierwsza nie jest poprawna. A w dziedzinie dodatkowo trzeba wykluczyć ujemne podstawy

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26168
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: Jan Kraszewski » 15 sty 2020, o 11:14

a4karo pisze:
15 sty 2020, o 08:14
A w dziedzinie dodatkowo trzeba wykluczyć ujemne podstawy
Czy raczej uzasadnić, dlaczego ich nie ma.

JK

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 15 sty 2020, o 11:14

1. \(\displaystyle{ \left(a>1 \wedge b<1\right)\Rightarrow a^b<1}\)

Czy teraz przypadek pierwszy będzie poprawny?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 15 sty 2020, o 11:48

`\sqrt(49)>1`

Dilectus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2526
Rejestracja: 1 gru 2012, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 356 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: Dilectus » 15 sty 2020, o 12:16

\(\displaystyle{ \left(x^2-6x+9\right)^{x+3}<1}\)

\(\displaystyle{ (x-3)^{2(x+3)}<1}\)

Zauważ, że \(\displaystyle{ 1= \text {coś}^0}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 26168
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4374 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: Jan Kraszewski » 15 sty 2020, o 14:15

Dilectus pisze:
15 sty 2020, o 12:16
\(\displaystyle{ \left(x^2-6x+9\right)^{x+3}<1}\)

\(\displaystyle{ (x-3)^{2(x+3)}<1}\)
To jest niezbyt dobrze. Powinno być

\(\displaystyle{ \left( (x-3)^2\right) ^{x+3}<1}\)

JK

41421356
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 265
Rejestracja: 11 maja 2016, o 13:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 179 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: 41421356 » 15 sty 2020, o 15:37

a4karo pisze:
15 sty 2020, o 11:48
`\sqrt(49)>1`

To ja już nie wiem, czy wartość \(\displaystyle{ a}\) będzie jakoś uzależniona od \(\displaystyle{ b}\)?

Dodano po 50 minutach 5 sekundach:
Wrzucam na poprawkę jeszcze raz ten swój pierwszy przypadek:

1. \(\displaystyle{ \left(a>1\wedge b<0\right)\Rightarrow a^b<1}\)

Czy teraz jest poprawnie?

Dilectus z tym zwijaniem to trzeba być bardzo ostrożnym chyba...

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17670
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2980 razy

Re: Nierówność wykładnicza

Post autor: a4karo » 15 sty 2020, o 17:18

Tak

ODPOWIEDZ