Całkowanie funkcji wymiernych metodą Ostrogradskiego
: 30 lip 2008, o 22:39
Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ P}\) ma pierwiastki wielokrotne, to ma miejsce następujący wzór
Przykłady:
1) \(\displaystyle{ I = \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2}}\)
Korzystając z poznanych przed chwilą wiadomości zapisujemy
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{A}{x-1} + \int \frac{B}{x-1} \; \mbox d x \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & - \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{-A - B + B x}{(x-1)^2} \iff (A,B) = (-1,0) \end{eqnarray*}}\)
stąd mamy
\(\displaystyle{ I = C - \frac{1}{x-1}}\)
2) \(\displaystyle{ I = \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x}\)
Ponownie zapisujemy poznaną formułkę
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x & \equiv & \frac{A x^2 + B x + C}{(x+1)(x^2 +1)} + \int \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)} \; \mbox d x \\
\frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} & \equiv & \frac{B-C+2 A x-2 C x+A x^2-B x^2-3 C x^2-2 B x^3-A x^4}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} + \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)}\\
& \vdots & \\
(A, B, C, D, E, F) &=& \left( -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{4}, 0, -1, \frac{9}{2} \right)
\end{eqnarray*}}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ I = \frac{1}{8} \left(\frac{2+14 x-8 x^2}{1+x+x^2+x^3}+14 \arctan x +22 \ln |1+x | -11 \ln \left|1+x^2\right|\right) + C}\)
Jak widać stosując zaprezentowaną metodę w praktyce nie zawsze oszczędzamy czas, jednak pomimo tego wydaje mi się ona godna zapamiętania - nawet jako ciekawostka
\(\displaystyle{ \int {R(x)\over P(x)} \; \mbox d x = {T(x)\over S(x)} + \int {X(x)\over Y(x)} \mbox d x \qquad (*)}\)
gdzie \(\displaystyle{ S(x)}\) to największy wspólny dzielnik wielomianu \(\displaystyle{ P}\) i jego pochodnej \(\displaystyle{ P'}\). Wielomian \(\displaystyle{ Y}\) spełnia zaś związek \(\displaystyle{ Y(x) = P(x) : S(x)}\). O wielomianach z liczników zakładamy, iż spełniają następujące związki\(\displaystyle{ \deg R \leqslant \deg P - 1, \quad \deg T \leqslant \deg S - 1, \quad \deg X \leqslant \deg Y - 1}\)
Nieznane wielomiany \(\displaystyle{ T}\) i \(\displaystyle{ X}\) wyznaczamy różniczkując obie strony równości (*).Przykłady:
1) \(\displaystyle{ I = \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2}}\)
Korzystając z poznanych przed chwilą wiadomości zapisujemy
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{\mbox d x}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{A}{x-1} + \int \frac{B}{x-1} \; \mbox d x \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & - \frac{A}{(x-1)^2} + \frac{B}{x-1} \\
\frac{1}{(x-1)^2} & \equiv & \frac{-A - B + B x}{(x-1)^2} \iff (A,B) = (-1,0) \end{eqnarray*}}\)
stąd mamy
\(\displaystyle{ I = C - \frac{1}{x-1}}\)
2) \(\displaystyle{ I = \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x}\)
Ponownie zapisujemy poznaną formułkę
\(\displaystyle{ $\begin{eqnarray*} \int \frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} \; \mbox d x & \equiv & \frac{A x^2 + B x + C}{(x+1)(x^2 +1)} + \int \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)} \; \mbox d x \\
\frac{x+6}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} & \equiv & \frac{B-C+2 A x-2 C x+A x^2-B x^2-3 C x^2-2 B x^3-A x^4}{(x+1)^2 (x^2 + 1)^2} + \frac{Dx^2 + E x + F}{(x+1)(x^2 + 1)}\\
& \vdots & \\
(A, B, C, D, E, F) &=& \left( -\frac{1}{4}, \frac{7}{4}, \frac{1}{4}, 0, -1, \frac{9}{2} \right)
\end{eqnarray*}}\)
ostatecznie
\(\displaystyle{ I = \frac{1}{8} \left(\frac{2+14 x-8 x^2}{1+x+x^2+x^3}+14 \arctan x +22 \ln |1+x | -11 \ln \left|1+x^2\right|\right) + C}\)
Jak widać stosując zaprezentowaną metodę w praktyce nie zawsze oszczędzamy czas, jednak pomimo tego wydaje mi się ona godna zapamiętania - nawet jako ciekawostka