Aksjomatyka liczb rzeczywistych.
Jak wiadomo właściwie wszystkie poważniejsze działy matematyki posiadają obecnie pewne określone systemy aksjomatyczne, które pozwalają na wyprowadzenie twierdzeń i rozwój dziedziny nauki. Nie inaczej jest oczywiście z liczbami rzeczywistymi. Aksjomatyczne podejście do zagadnienia liczb jako takich można prezentować dwojako:
1. Wychodząc z definicji i aksjomatyki liczb naturalnych.
2. Wychodząc z definicji i aksjomatyki liczb rzeczywistych.
Aksjomatyka liczb naturalnych to nic innego tylko zaprezentowana już w Kompendium Aksjomatyka Peano.
Tym razem proponuję przegląd własności aksjomatycznych ciała liczb rzeczywistych.
1. Aksjomatyka działań.
Liczby rzeczywiste jako struktura algebraiczna są ciałem z działaniami:
"+" - dodawanie liczb z elementem neutralnym "0"
"\(\displaystyle{ \cdot}\)" - mnożenie liczb z elementem neutralnym "1"
(C0) - Elementy neutralne są różne.
\(\displaystyle{ 0 \ne 1}\)
(C1) - Łączność dodawania i łączność mnożenia.
a)\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c \in \RR} \, \, (a+b)+c = a+(b+c)}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{a,b,c\in \RR} \, \, (a\cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)}\)
(C2) - Przemienność dodawania i mnożenia.
a) \(\displaystyle{ \forall_{a,b\in \RR} \, \, a+b = b+a}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{a,b\in \RR} \, \, a\cdot b = b\cdot a}\)
(C3) - Elementy neutralne.
a) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \RR} \, \, a + 0 = a}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \RR} \, \, a\cdot 1 = a}\)
(C4) - Wykonalność działań odwrotnych.
a) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \RR} \, \exists_{b \in \RR} \, \, a+b=0}\)
b) \(\displaystyle{ \forall_{a \in \RR\setminus\{0\}} \, \exists_{b \in \RR} \, \, a\cdot b = 1}\)
(C5) - Rozdzielność mnożenia względem dodawania.
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c\in \RR} \, \, a\cdot (b+c) = a\cdot b + a \cdot c}\)
2. Aksjomatyka porządku.
Dodatkowo w ciele liczb rzeczywistych można wprowadzić coś, co nazywa się relacją porządku i oznacza symbolem "\(\displaystyle{ <}\)".
(P1) - Przechodniość relacji mniejszości.
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c \in \RR} \, \, (a<b\land b<c \Rightarrow a<c)}\)
(P2) - Trichotomia.
\(\displaystyle{ \forall_{a,b \in \RR} \,\, (a>b \, \underline \vee \, a=b \, \underline \vee \, a<b)}\)
(P3) - Dodawanie stałej.
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c \in \RR} \,\, (a<b \Rightarrow a+c<b+c)}\)
(P4) - Mnożenie przez stałą dodatnią.
\(\displaystyle{ \forall_{a,b \in \RR, c > 0} \,\, (a<b \Rightarrow a\cdot c < b\cdot c)}\)
3. Aksjomat ciągłości Dedekinda.
Osobnym zagadnieniem jest Aksjomat ciągłości, który gwarantuje nam "ciągłość" zbioru \(\displaystyle{ \RR}\). Jak to wygląda? Cóż.... chodzi mniej więcej o to, że poprzednie dwie grupy aksjomatów można równie dobrze zastosować np. w ciele liczb wymiernych (sprawdźcie to!). Nie ma jednak żadnej gwarancji, że w naszym zbiorze odnajdziemy liczby niewymierne, przestępne itd.
(D) - Aksjomat ciągłości.
Niech \(\displaystyle{ A, B}\) będą takimi niepustymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \RR}\), że zachodzi:
\(\displaystyle{ \large A \cup B = \RR}\)
oraz
\(\displaystyle{ \forall_{a \in A} \, \forall_{b \in B} \,\, a<b[/tex]
Wówczas zachodzi:
\(\displaystyle{ A}\) ma element największy, albo \(\displaystyle{ B}\) ma element najmniejszy.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
No i tyle aksjomatyki. Jak się okazuje, za pomocą takich właśnie aksjomatów można skonstruować wszystko, co ciekawe, łącznie (!) z liczbami naturalnymi, zasadą indukcji matematycznej itd. Ale o tym już może innymi razem - warto tylko dodać, że proponowana aksjomatyka powstała dopiero (!) pod koniec wieku XIX.}\)